数学建模

本文主要针对SARS传播的难以预测性，通过分析附件1中SARS传播模型的实用性和合理性，针对其不足之处建立了控制前和控制后两个传播模型。根据所建模型，可以对疫区SARS的发展趋势进行分析和预测。

在控制前的自然传播模型中，我们理想地把人群分为健康者和病人两类。以微分方程为理论基础，计算出时刻t的疫情高峰期。此模型具有简单、运算容易等特点。在控制后的模型中，我们把人群细分为健康者、病人、退出者、隔离者和未隔离者五类。在微分方程的理论基础上，运用了统计和曲线拟合等方法并利用了matlab软件等，结合香港、北京、广东三个地区的疫情分析，得到实际疫情高峰期到来的时间会比模型中计算出来的时间提前10～12天的结论。这个结论对预防和控制SARS疫情提供了可靠的依据。根据所建的控制后的模型的结论，只需知道病人在人群中达到最大比例时的时间，就可推算出疫情高峰到来的时间。此结论为政府做出正确的决策提供了可靠的依据，在实践上具有很高的应用价值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

非典型肺炎（SARS）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：

（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。

（3）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

 

 

1、将SARS所有可能的传播途径都视为与病源的直接接触。

2、在疾病传播期间，所考察的地区的总人数视为常量；也就是认为本地区流入的人口与流出的人口相等。

3、根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的SARS病人不具有传染性。

4、潜伏期为一常数

5、不考虑SARS传播时间内的人口出生率和自然死亡率。

6、在控制后于对人口流动的加以限制，所以控制后无病源输入和输出。

7、算退出时不考虑疗程问题，因为SARS的治愈疗程迄今还没有确切的资料。

8、被隔离的人群完全断绝与外界的接触，不再具有和外界的传染。

9、只要感染上SARS病毒的患者最终都会表现出症状。

10、SARS康复者二度感染SARS的概率为零。

 

 

——每个病人平均每天有效接触的人数。

  N ——疾病传播期内所考察的地区的总人数。

  S ——t时刻健康者在人群中的比例。

  I ——t时刻病人在人群中的比例。

Q—— t时刻病人中每日死亡的比例

R—— t时刻病人中每日治愈的比例

Y—— t时刻疑似者在人群中的比例

N——本地区的总人数

Y₁——疑似者每日被排除的人数占疑似人数的比例

Y₂——疑似者每日确诊的人数占疑似人数的比例

M——自由带菌者在人群中占的比例

A ——每个自由带菌者转化为病人的日转化率

B ——每个自由带菌者发病后到被收治前平均每天感染的有效人数

C ——被自由带菌者有效感染的人中可以控制的比例

——本地区每天相对治愈的参考值

I₀，Q₀，R₀，Y₀ , ， 分别表示初始值（即t=0时）。

 

由于SARS的爆发和蔓延使我国的经济蒙受很大的损失，给人民的生活带来了巨大的影响，于是我们有必要建立一个模型对SARS的传播规律进行研究以达到预防和控制SARS蔓延的目的。在附件1中，SARS的传播数学模型建立了病例数目的增长随时间t（单位天）的关系式为： 。其中 为初始时刻的病人总数， 为平均每个病人每天可传染的人数。从实用性和合理性两个方面对此模型进行了评价，我们认为优点在于此关系式比较简单，容易计算，并且参数大部分可以准确得到。对于参数 ，我们可以从不同地区卫生部门对疫情的统计数据中得到，有其实用性的方面。但在某些方面还存在其不合理性，如附件1中对香港地区的疫情分析：从2月15日发现第一个病例为起点到4月1日经过45天一共有病人98人，于有 。把这些数据代入到附件2中的关系式 ，算出 =0.16204.明显，K值只有在确定了 ， ，t值之后才可以确定，如果其中有一个数值无法确定将对问题的求解带来极大的困难。还有K值（每个病人每天可传染的人数）的确定随不同地区的经济状况、人口密度、卫生习惯等因素不同而难以确定。这将降低模型可操作性，使模型的实用性变差。同时在附件1中还确定了参数L（平均每个病人在被发现前后可以直接传染他人的期限）的变化范围为15到20天之间，这根据多个地区的统计数据可以得到。虽然有其模型的合理性，但在整个模型中不能只考虑这两个因素的变化，即平均每个病人每天可传染他人的人数和平均每个病人在被发现前后可以直接感染他人的期限。

根据实际情况影响SARS的传播速度以及最终结果的因素除了社会、经济、文化、风俗习惯以外，还受自由传播者（带有SARS病毒但没有被控制者）的数量及其在健康人群中的分布密度、被传染者的数量、传播形式、病毒本身传播能力的强弱和该地区的温度等因素的影响。所以我们针对附件1中的不足建立了我们的SARS传染模型。

 

 

从合理性方面来考虑附件1中的模型：有一定的合理性，因在模型中考虑到平均每个病人每天可传染的人数和平均每个病人在被发现前后可以直接感染的期限，但是在实际中的多种情况下我们要考虑的因素远远不止这两个。在SARS传染的初期，由于政府未有足够的重视，所以我们理想地把人群分为健康者（易感染者）和病人（已感染者）两类，即把疫情看成是自然传播的，称为控制前传播；则建立了，

根据专家对以往传染病的研究可得出规律：从传染病患者在被治愈这段时间之前到政府开始控制这段时间的患者基本为自然增长。同时在SARS爆发的初期，社会对病毒SARS的传播速度和危害程度认识不够，因此我们理想地认为在这个阶段政府没有采取任何措施；SARS是按自然传播方式传播。我们把这个时间段内的人群分为健康者和病人两类。每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，所以每个病人每天可使λS个健康者变为病人。由于人群中总的病人人数为NI，因此每天共有λSNI个健康者被感染，则得： ，其中λNSI是病人数NI的增加率           

我们把人群分成只有健康者和病人两类，则得出：S+I=1

在初始时刻（t=0）病人的比例为 ，则有：

                                      （1）

（1）式的解为

I=                                      （2）

I——t 和 ——I的图形如图1所示

                                             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                图1

由（1）（2）及图1可以知道，当I= 时 达到最大值 ，于是得出结论：当病人在人群占有一半的时候，病人增加得最快，显然这种情况不太符合实际，因为在此之前政府可能已经开始干预了。把I= 代入（2）式就可以得出病人增加最快的时刻为： ，那么这个时刻的到来就预示着SARS疫情高峰的到来，是卫生部门和政府部门要特别关注的时刻。

下面我们以北京的疫情来对本模型验证：北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰。我们通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的 =0.13913。在此我们可以理想地认为在SARS被控制前 的值为0.13913（如图2所示）。根据有关统计资料北京市在开始政府开始控制SARS患者时平均十万人当中就有一个人，也就是 比例为0.00001。把 =0.00001代入 中计算可得在82天左右疫情达到高峰，实际情况是北京的疫情在59天达就达到高峰，似乎与实际不符合。但实际情况中北京市在疫情达到高峰之前政府就开始采取各种强有力的措施以控制SARS的进一步传播。这样就会减小了SARS的传播速度，同时也减小了λ的值。所以导致两者的结果有差距。于是我们建立了控制后的传染模型，在该模型中，我们考虑了政府采取各种强有力的措施，在这当中就有隔离SARS患者的方法。同时在这个时期内公众的警觉程度也加强，对SARS也有防范（如远离患者，注意卫生饮食等）。这样对SARS的传播速度和最终结果起到很大的影响，当然影响SARS的传播及最终结果的因素不止这些，还有经济，文化，风俗习惯等因素。而最为直接的因素是：自由传染者（带有SARS病毒但又没有被隔离，控制的人）的数量及其它在健康人群中的分布，传播形式及病毒本身的传播能力。但我们在模型中没有必要也不可能考虑到这么多，我们只要抓主要的因素进行合理的假设和建模。

 

 

                          图2

 

控制后传播模型：

这个时期各政府已经采取各种强有力的措施以控制SARS的进一步蔓延，包括对传染源的控制，卫生环境的强化管理，流动人口的严格限制，同时医疗机构也努力寻求最有效的治疗方法。因此在我们把这个阶段的人群分为五类：健康者，病人，退出者, 疑似者和自由带菌者。其中退出者包括死亡者和治愈者；疑似者是指怀疑患有SARS病毒而被隔离的人群，这人群中有患者也有健康者；自由带菌者是指带有SARS病毒暂时没有发作但又没有被隔离的人群。在病毒传播的过程中，SARS患者接触的人当中可能有健康者也可能有患者，显然SARS患者已经是被感染者了，只有健康者才会被SARS患者传染，同时传染也分为两种情况：隔离外传染和隔离内传染。所谓隔离外传染是指自由带菌者把染病毒传给健康者；隔离内传染是指在被隔离者中SARS患者把病毒传染给健康者。在此我们以天为时间单位，把这隔离外传染和隔离内传染的λ看成一致，那么每个病人每天可以使λS个健康者变为病人。因为病人的人数为NI，所以每天共有λNIS个健康者被感染，而这些被感染者又将成为自由带菌者和疑似者中带菌的人群；自由带菌者中每天有AMN人转化为病人，每天可以感染的有效人数为BMN；在病人中每天死亡的人数为QNI，每天被治愈的人数为RNI；疑似者中每日被确诊的人数为Y₂ YN；由此我们就可以得出：

每天病人在人群中的比例为：

                                     （3）

每天病人的死亡率为：

                                                    （4）

每天病人的治愈率为： 

                                                     （5）

每天疑似者在人群中的比例为：

                                      （6）

由前面的分析和假设可以根据t=0的初始值，

I（0）= ，Q（0）= ，R（0）= ，Y（0）= ；可得到如下方程组，

由此有：                       （7）       

                                                       （8）

                                    （9）

                                                          （10）

对（7）、（8）、（9）、（10）、四个方程组应用Mathemtica4.0软件进行微积分得： （11）

从（7）（8）（9）（10）式中我们可以看出有Y₁，Y₂，B，M，N，C，A7个参数，而这些参数可以根据卫生部的每日疫情公布数据和有关部门的统计容易求出。但由于每个地区的情况（医疗卫生水平，经济发展情况，人口密度等）不同，导致这些参数也不同，所以不可以用全国的情况来分析各参数。在此我们以北京为例。

①    Y₁——疑似者每日被排除的人数占疑似人数的比例

计算公式：Y₁=

根据卫生部每日对北京疫情公布的数据（见题目附件2），用matlab画出图3有：

              图3

可以看Y₁概率最大的取值为：3.51%，所以我们在模型建立过程中，就取3.51%为Y₁的概率平均值。

② Y₂——疑似者每日确诊的人数占疑似人数的比例

 计算公式：Y₂=

以卫生部每日对北京疫情公布的数据（见题目附件2），用matlab 画出图4，然后用曲线拟合得到，从这里可以看出Y₂的总趋势是下降的，因为政府和公众的高度重视，同

时也采取 强有力的控制措施 。从图4可以看出Y₂的值主要分布在  0.05%~2%之间，我们取2.19%做为有效值。

 

 

                图4

③Q——病人中每日死亡的比例

计算公式：Q=

以北京为例：（附件2），用Excel拟合成图5为：

                            图4

我们观察一下图4就会发现以每天为时间单位的原始点太散了，这样拟合成的曲线不能 图5

真实地反映实际情况，在此我以每四天为时间单位来画图5：

从图5我们可以看出来北京在病发3月1日起，经过大约40天在4月11日左右死亡的人数最多，死亡率Q处于1%以下。

④ R——病人中每日治愈的比例

   计算公式：R=

同样以北京为例：用Excel画图

图6

从图6中可以看出从病发起到59天左右，每日的治愈率最高。是由于政府采取强有力的措施和卫生部门的有效的治疗方法。R的值在1%以上。

⑤A——每个自由带菌者转化为病人的日转化率；从数据可以推算出其值在

10%——29%之间，这里我们令A=20%。

⑥C ——被自由带菌者有效感染的人中可以控制的比例；C的取值与城市的人口密度，生活习惯等因素有关，由于在强化控制阶段对人员的流动控制的严格要求。所以我们可估计C=70%——90%

显然从模型的结果 （11）

和不同地区的参数就可以预测到该地区SARS疫情的“高潮期”，但值得注意的是SARS是一种非典型的病疫，医学界对它的认识不足，既没有有效的预防措施，也没有较完善的治疗方案，因此SARS患者的治愈较低，自由带菌者的日传染人数较多。所以实际疫情可能会比我们预测的提前。

下面对香港，北京，广东三个具有代表性的地区进行疫情预测。
北京地区的疫情预测：

根据卫生部门对北京地区疫情的统计数据可以得出参数值如下：Y₁=0.0351, Y₂=0.00555, Q=0.0087, R=0.025, A=0.2, C=0.8。把这些参数代入（9）中计算可以求出从疫情爆发时算起经过64天即5月4号到5号左右当天病人的在人群中的比率达到最大， 的值为0.0002；而实际情况北京地区在4月29号疫情就达到“高潮期”。所以我们预测北京地区当 达到最大时的时间比实际中疫情 “高潮期”到来的时间推迟六天左右。

根据广东地区疫情的统计数据分析可得参数如：Y₁=0.0594,Y₂=0.0061,Q=0.0012,R=0.043,A=0.19,C=0.85把这些参数代入（9）中计算得出从疫情爆发时算起经过70天即从02年11月16日到今年2月25号 达到最大值为

0.000018。而广东地区疫情达到“高潮期” 的时间是在今年2月17号。即I达到最大值的时间比疫情“高潮期”到来的时间推迟八天。

对香港地区疫情的统计数据分析可得参数如下：

Y₁=0.0342, Y₂=0.0068,Q=0.0046,R=0.036,A=0.23,C=0.82。把这些参数代入（9）得出

从疫情爆发时算起经过52天即4月9号时I达到最大值0.00211。香港地区SARS疫情达到“高潮期”的时间是4月1号。也就是说I达到最大值的时间比疫情“高潮期”到来的时间推迟七天。

根据以上对三个具有代表性地区进行疫情预测可以大约知道疫情高峰期到来所需的时间比 达到最大时所需的时间提前6——8天。但由于实际疫情可能会比我们预测的提前。所以这个疫情高峰期到达的提前时间要放在10——12天。因此各地区的医疗机构和政府部门要根据这个规律来采取相应的措施对SARS进行预防和控制，包括如下几点：

1，努力做好SARS卫生知识的宣传，尽量降低公众对SARS的恐惧程度。

2，强化对流动人口以及公共场合的控制和管理，特别是广东，香港，北京这三个地方，经济比较发达，人流量大。

3，注意卫生环境的改善，根据专家研究SARS的传播跟天气有一定关系。气温低时会大肆传播。所以在气温比较低的时候要加强卫生环境改善。

4，注意消毒药物的合理使用，有些消毒剂的腐蚀性比较强，如果用的浓度过高就会造成对危害。

5，加强对治疗SARS方法的研究。

6，要严格隔离SARS病毒携带者。

由于人们对SARS病理还未有充分的认识，而我们通过模型的建立基本上可以知道一个地区SARS病人的传染规律。但是城市流动人口的出入将扩大SARS的传播范围和加大控制的难度，因此平衡全国的医疗水平和预测目前各地区控制SARS传播的能力将成为首要问题。

由前述可以看出：使用DEA（评价相对有效性）进行各决策单元 (j=1,2,…n)之间相对有效性评价时，首先要根据实际情况及要求确定指标体系，这个指标体系为“输入”指标（广义上指各种累计的病人和累计的死亡率），以及“输出”指标（广义上指各种“成效”的产生）。

指标体系确定后，需汇集各决策单元（被评价对象）的相应数据，并形成如下的表达格式：现在我们以10个决策单元，即根据附件2提供北京地区前十天（4月20日到4月30）的数据进行试算。

评价指标基础依据为：北京疫情统计数据。

在此基础上，根据我国疫情的实际情况，最终选定了输入指标3项，输出指标1项。分别是：

输入指标：a.已确诊病例累计数；b.现疑似病例的人数；c.死亡的累计数。

输出指标：d.治愈出院累计数。