一，建立数学模型：
建立传染病传播过程的数学建模，可以在较一般的情况下分析受感染人数的变化规律，因此一直受到国内外专家的关注。由于人们不可能通过试验来取得传染病传播的根据，通常主要是依据机理分析的方法来建模。
首先将传染病传播范围内的人群分成三类：
S类（susceptible）：易感者人群，指未得病，但与患者接触后容易受到感染。
I类（infective）：感病者人群,指染上传染病的人群。
R类（removed）：移出者人群，指因患病而被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
1，模型一（SI模型）：
假设：（1）地区总人数N可视为常数，即不考虑出生，死亡和人口的迁出迁入。
（2）除感病特征外，人群的个体间没有差异。
（3）每个病人每天有效接触的平均人数是常数 ，称为日有效接触率，即
一个病人与一个未得病的人接触后且使后者被感染的比例。
由假设（1），（2）易感者和感病者的人数只是时间的函数，设这两类人在总人数中所占比例记作 和 ，那么 + = 1。
根据假设（3），每个病人每天使健康者变为病人的人数是 ，而总人
数是N，I类在总人数中所占比例为 ，故病人数为N 。故每天有 N 个健康者被感染，于是 N 就是病人人数的增加率。即有：
N = N （1）
其中 + = 1，故 = 1 - 。并记初始时刻（t = 0）病人人数的比例为 。
则有 = N = [1- ] （2）这就是关于疾病传染的Logistic模型 。它的解为
= 。
同时我们也可以求解（2）式：
= -
解：令 = = - = -
得 = - +
积分得 - = t + c
=
得I（t）= =
在初值条件 = 下有
= 得C = -
那么有 = （3）
由分离变量法解出I（t）的值就可得到S（t）的值：
= （4）
再将（3）式和（4）式代入（2）式得：
= （5）
由（1）式的概念和（5）式可知，（5）式给出了感病者增加速度随时间变化的关系，下面给出 —t 的图象，（图（一）），称为传染病曲线 和 — 的图象（图（二））。
由图（一）和图（二）可以看到， 在时刻 处达到最大值，它表明这时病人增加的速度最高，预示着传染病高潮的到来。另外我们还可以进一步证明得 = ，即在此刻（5）达到最大值，下面来看关于 的证明。
证明：
当 = 0 时， 达到最大值，此时 =
= =
1 = 得 =
图（一）
i
0
tm
图（二）
t = 时疫情最猛烈，另外还可以看 与 成反比,而日接触率 表示该地区的卫生水平，所以改善保健设施，提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。另外再看（4）式，当t 时I（t） 1，即所有人终将被传染，全变为病人。这明显不符合事实。其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，为了改进这一点我们看来下一个模型。
2，模型二（SIS模型）：
传染病有多种，有些传染病病人治愈后免疫力很低，如伤风，痢疾。这样我们可以设病人被治愈后仍然会被感染，故称它为SIS模型。
与SI相比增加的条件：每天被治愈的病人数占病人总数的比例 （常数），被称为日治愈率。那到每天减少的病人数为 N 。由于病人治愈后仍可能被感染，那么 被称为这种病的平均传染期。这时病人人数的增长率为 N I - N 。即：
N = N - N （ = ） （6）
即： = - （7）
化解 = （ - ） - = ，由此式可以得知这也是一个关于疾病传染的Logistic模型。由此可以想到它的解为：
与求解（2）式相似，可以利用分离变量法求得（7）式的解：
I（t）= （8）
并且定义 。
与原 Logistic模型相比唯一例外的是 = 0 （即 ）时，它的解为 。这里出现的重要指标 。由 为日接触率， 为平均传染期，可知 表示一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称 为接触数 。且 =
那么（8）式可表示为：
I（t）= （9）
由（8）和（9）式可得到，当 时：
= （10）
由（10）式，在 的附近疾病的传染行为有明显的不同。当 时病人的比例I（t）逐渐变小最终趋于零，即疾病的传播完全控制和消除了。这是因为在传染期内经接触从而使易感者感病的人数不超过原来病人的人数而产生的；当 时，I（t）的增减性取决于 与 的大小关系，这时它将有一个非零的极限值，而不可能将疾病完全消除。
di/dt
s 1
O i
图三 图四
另外我们将（7）式写作 = - [ - ]，可得到 - I（t）的图象。如图三和图四
另根据（9）式还可以作出 - t 的图象，如图五和图
图五 图六
这就是关于此类传染病的SIS模型。另外还有其他的一些传染病，病人治愈后有很强的免疫力，所以病愈后的病人即非I类也非S类，而是已退出传染系统，这种情况下我们建立下面的模型。
3，模型三（SIR模型）
与上面的两个模型相类似，我们记I类，S类和R类在总人数中所占的比例为I(t)，S(t)， 。且有 + + = 1 。
再有 = N - N 仍成立。而对于病愈免疫的移出者而言应有N = N ， 即 =
对 + + = 1 求导，有 + + = 0，得过且过 = - 。
并且t = 0 时 = ， = ， = 0。
那么SIR模型的方程可以记作：
将 = 代入（12）式得 =-
积分得 = C
又有S ( 0 ) = ，R ( 0 ) = 0 ，可求得C = 。即：
= =
而（11）式有 = - - I（t） = - + = - +
积分得： = - S（t）+ + C C = + + ，
故得 = + - S（t）+ ， 从而解得：
另外定义 ，故此解可表示为：
当 时，R ( t )趋向于一个常数，也就是当传染病传染时，涉及的总人数大体是保持为一个常数。
将（11）式改为 = 。那么有：
通常是一个与疾病种类有关的较大的常数，容易看出，如果 ， ，I（t）单调递增，但在I（t）增加的同时， 在单调减小，当
减小到小于或等于k时， ，I（t）开始减小，直到疾病在该地区消失。由于k在模型中的作用，称k为疾病在该地区的阀值 。
该模型得出的结论为：
（1）当人群中感染上某种传染病时，此疾病不一定传播，仅当受感染的人数超过阀值k时，疾病才会传播起来。
（2）疾病并非因缺少易感者而停止传播，而是因为缺少传播者才停止传播的。
（3）种群不会因为某种疾病而灭亡。
三,深入的认识
传染病学的数学模型已在人们的生产生活中起到了很大的作用,这种模型的建立是在合理的假设前提下,选择一些相关的因数作为参数,并通过它们的关系来描述传染病的现象。利用这些现象,人们可以设计疾病控制方案及检验假设病因。建立数学模型来研究传染病,能使人们定量地认识传染病的发生发展,从而推动和完善传染病理论以及数学理论的发展由。此可见,建立一个合理的传染病学的数学模型是有重要意义的.不过人类与传染病病魔抗争是一个长期的过程,要建立一个合理的传染病学的数学模型也将是一项繁重的工作,这需要人们的共同努力和相关学科的共同发展.
大学理科教案 -> 传染病的传播问题