三角形相似的 判定

课题：三角形相似的判定（一）                 

               

 

师：我们已经学习了相似三角形的定义，请问有哪些方法判定的三角形相似?

[学生纷纷举手回答]

生：可用定义和预备定理来判定。

师：用相似三角形的定义可判定两个三角形相似，但涉及的条件较多，需要   从复习中引入到

有三对对应角相等，三条对应边的比也相等，显然用起来不方便，那么，从本节    新课内容，培养

课开始我们来研究能否用较少的几个条件就能判定三角形相似呢?                学生用类比的数

[有学生马上举手，其他同学在思考。]                                     学思想。

生：两个角相等[学生用信息卡，给出对这同学的评价B]

师：可以完整说出命题吗？                                              评价功能——是

[学生纷纷回答：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应     信息卡使用的另

相等，那么这两个三角形相似]                                               一种功能。体现

（电脑打出课题和命题，数学表达式）                                     课堂中的评价。

师：根据题设条件，难以用定义证明，应考虑用预备定理构造怎样的图形呢？

请各小组讨论后回答                                                     电脑辅助教学使        

[12个小组纷纷讨论，先是第1小组举手]                                   课堂容量加大。         

生：在△ABC边AB、AC上分别都取AD=A’B’，AE=A’C’，DE，先证

△     ADE≌△A’B’C’，再证△ADE∽△ABC

              

                                                                        培养了学生利用

                                                                            已学知识证明新

                                                                        命题的能力。

[学生用信息卡，给出A的评价]

师：非常好！这是先构造全等，后证相似，（教师电脑打出学生证明的思路）     课堂上老师注意

[第10小组又举手，争着回答]                                              对学生表扬、鼓

生：还有其他方法，就是在△ABC边AB上截取AD=A’B’，过点D作DE∥      励，增加学生的

BC于E，先证△ADE∽△ABC，再证△ADE≌△A’B’C’                           信心。

师：很好，这又是一种怎样的思路呢？                                      合作性的学习、

[第10小组的另一些同学举手，补充]                                        合作中的探究充

生：这是先构造相似，再证全等。                                           分体现在课堂上。

[学生用信息卡，给出A 的评价]

 

 

(老师再用电脑投影出证明)

师：通过同学们的证明，我们得到三角形相似的判定定理1：两角对应相等，

两三角形相似。数学符号表示：∵∠A=∠A’，∠B=∠B’

∴△ABC∽△A’B’C’

（老师投影，并在黑板板书）                                            电脑投影与黑板

师：到此，我们可以用哪些方法来判定两个三角形相似呢？                  板书互相发挥作

生：可以找两个三角形的两个角相等。                                    用。

（电脑投影出课本的例题和两个练习）

[学生用练习本做题]

师：若把练习2：“D为ABC边AB上一点，且∠ACD=∠B，则△ABC∽

△ACD  ”

特殊化，△ABC为Rt△，∠C=90°，且CD⊥AB时                         形象生动直观的

（用计算机几何画板演示特殊化的运动过程）                              几何画板的运用，

变式为：                                    使内容更易被学

                                                                          生理解。

请问图中有多少个三角形相似？如何证明？

生：有三个三角形相似

△     ABC∽△CBD∽△ACD

[学生自行证明，投影个别学生证明过程]

师：于是，我们得到结论，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形

和原三角形相似。

Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，则

△     ABC∽△CBD∽△ACD

从这三个三角形相似，可得到什么比例式子呢

生：AB/CB=BC/BD  AB/AC=AC/AD  CD/AD=BD/CD

师：很好，我们也可写成比例中项式：                                     射影定理的教学

AC·AC=AB·AD  BC·BC=AB·BD  CD·CD=AD·BD                  拓宽了学生的知

这个结论又称之为射影定理，再看练习3                                   识面。

（电脑投影出射影定理，并黑板板书）

（电脑投影练习3）[学生做练习]

 

(投影练习4)

（投影）练习4：（探索题）已知△ABC和△DEF不相似，其中∠C、∠F为直

角，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使△ABC所分成的每个三

角形与△DEF所分成的每个三角形分别对应相似？想的话，请设计一种分割方案。                                                             探究题吸引学生的兴趣。应用数学充分体现。

[学生四人小组纷纷讨论]

（老师说：或者也可以与老师讨论一下）

[第2小组，第5小组先举手，先后到黑板上讲述思路，分割方案]

生：作∠ACG=∠E，则△ACG∽△FEH

又作∠HFE=∠A，则△CGB∽△BHD

师：非常好，从两个三角形的直角分割，大家给第2小组的评价是……        充分培养了学生

[评价是A]                                                             对新问题的探索

还有其他方法吗？                                                      能力。

生甲：可从锐角分割,

                       

作∠BAG=∠E，作∠EDH=∠B                                           学生的质疑，讨

则△ABG∽△EDH                                                      论解决了这种方

△     ACG∽△DFH                                                       法的难点。

[学生举手提出疑问]

生乙：不知道哪个锐角大小，为什么可以这样分割？

生甲：因为△ABC与△DEF不相似，则4个锐角就不全相等，就会有大的锐   进入了整节课的

角；不妨设大的锐角是△ABC中的∠A，则小的锐角也肯定在△ABC中，是∠B。  高潮，学生和老

[全场掌声响起，对两个同学的回答给予充分肯定和赞扬]                     师都沉醉在数学

师：非常好，从两个方面（直角、锐角）去分割三角形，其实这分割共有4种  题的挑战之中。

 

分法，你找到了吗？                                                        

[学生又继续思考，很快，第7、8小组的同学纷纷到黑板前讲述分割方法]  

[学生也纷纷举起信息卡，给出A的评价]

[数学科代一一纪录下，加分的小组和同学]

师：好了，本节课我们学习了什么内容呢？请同学们归纳一下。               让学生总结归纳

生：三角形相似的判定定理1和直角三角形相似的结论（或称为射影定理）     培养了学生的综

师：下面我们也一齐来复习一下本节的内容，请看选择题。                   合能力。

（老师电脑投影出3道选择题，学生用信息卡举示选项，稍后老师举卡，并

让学生讲解。）

要判定两个三角形相似，我们可以找两个角，看是否相等即可，但要注意对

应的关系，另外射影定理是直角三角形中一个重要的结论，也请同学们理解记

忆。

请完成下面的作业。（电脑投影）