第四讲 一元一次方程式的判别式
【学习目标】
1.体验一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac 判根的作用。
2.探索一元二次方程的各种情况。
【知识框图】
不解方程判根
ax2+bx+c=o Δ=b2－4ac 应用 已知方程根的情况确定方程的字母系数
求证方程有根产状况
典型例题
例1.不解方程判定下列方程是否有实数根。
（1）2x2+x-1=0 （2）3x2+ = x
（3）y(2y+5)=2(y- 1) （4）1998m2- 2002m- 2003=0
解：（1）∵Δ=12- 4×2×(-1)=9＞0
∴方程有两个不相等的实数根。
（2）方程可化为 3x2- x+ =0
∵Δ=6- 3×4× =0
∴方程有两个相等的实数根。
（3）方程可化为2y2+3y+2=0
∵Δ=9- 4×2×2= -7＜0
∴方程没有实数根。
（4）∵ac＜0 ∴b2-4ac＞0
∴方程必有两个不相等的实数根。
评注：（1）判定方程是否有实数根，只要通过计算Δ的值，就能确定；
（2）当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a,c异号时，必有b2－4ac ＞0。
例2：当k为何值时，关于x的方程x2+(1- 2k)x+k2- 1=0
（1）有两个相等的实数根；（2）有两个不相等的实数根；（3）没有实数根。
解：∵Δ=（1- 2k）2- 4（k2- 1）= - 4k+5
（1）∵方程有两个相等的实数根
∴Δ=0 即-4k+5=0 ∴k=
当k= 时方程有两个相等实数根。
（2）∵方程有两相不相等的实数根
∴Δ＞0 即- 4k+5＞0 ∴ k＜
当k ＜ 时方程有两个不相等的实数根。
（3）∵方程没有实数根
∴Δ＜0 即-4k+5＜0 ∴ k＞
当k＞ 时方程没有实数根
评注：若已知方程根的情况，则可通过Δ已确定的符号（Δ＞0或Δ=0或Δ＜0等）列式，计算待定系数的值或确定取值范围。
例3：求证：不论k取什么实数，方程x2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根。
证明：∵Δ=k2-4k+84
=(k-2) 2+80
∵(k-2) 2≥0 ∴ (k-2) 2+80＞0 ∴Δ＞0
∴不论k取什么实数，方程一定有两个不相等的实数根。
评注：（1）要证明方程根的情况，只需通过判断Δ的符号即可；
（2）判定Δ的符号却常常使用配方技巧或因式分解等。
例4：当k取何值时，方程(k-1)x2 - x+1=0有实根。
解：（1）当k=1时方程可化为-x+1=0,x=1
（2）当k≠1时，Δ≥0
Δ=k-4(k-1)= -3k+4≥0 ∴ k≤
又要使 有意义 ∴k≥0
∴0≤k≤ 且k≠1
综合所述当0≤k≤ 时方程有实数根。
评注：（1）本题中对于“方程有实数根”的含义的理解是关键，应分类讨论；
（2）解题时要注意方程中待定系数本身的取值范围：这里k≥0。
【选讲例题】
例5：方程 + + =0只有一个实数根（等根视为一根），求a的值。
解：方程化简x2+(x-2) 2+2x-a=0
2x-2x+4-a=0
（1）若Δ=0,Δ=4-2×4×(4-a)=0
即 2a-7=0, a=
此时方程为2x2-2x+ =0, 此时方程的根为x1=x2= 符合题意。
（2）若Δ＞0则要使原方程只有一个实数根，必须是方程2x 2-2x+4-a=0 中有一根为增根
<1>当增根为x=0时，a=4，此时方程2x 2-2x=0
x1=0, x2=1，符合原方程只有一个实数根。
<2>当增根为x=2时，2×4-2×2+4-a=0
∴a=8
此时方程为2x2-2x+4=0
∴x1=2, x2= -1 ,符合原方程只有一个实数根。
综上所述a的值为 、4或8。
评注：（1）本题主体思想是通过方程的根进行分类讨论；
（2）对化简后方程有两个不相等的实数根，通过增根求出待定系数后再检验；
（3）若化简后二次项系数是有关a的代数式，则还要进行方程类别的讨论。
【课堂小结】
本节内容主要学习了一元二次方程的根的判别式Δ及其作用，主要体现在Δ＞0，Δ=0和Δ＜0时，对方程的解的影响。只要涉及到方程解的情况讨论时，Δ是主要讨论的内容，同时也不可忽视Δ使用的前提：二次项系数不能为零。
【基础练习】
1.选择题
（1）若方程x2-2x+m=0没有实数根，则m的取值范围是（ ）
A.m＞1 B.m=1 C.m＜1 D.任何实数
（2）若一元二次方程根的判别式Δ=(m-1) 2,则下列说法不正确的是（ ）
A. 一定有两个实数根 B.一定有两个不相等的实数根
C.当m＜1没有实数根 D.以上说法都不正确
2.填空题
（1）方程x2-3x-4=0的判别式Δ=__________.
（2）若方程（x+2) 2+(y-2) 2=0,则x+y=_________.
3.m为何值时，一元二次方程2mx2+(8m+1)x+8m=0有两个不相等的实数根。
4. 已知a、b、c为三角形三边长，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根。
求证：三角形是直角三角形。
5.已知二次函数y=x2-2(m+1)x+m2-1与x轴有两个交点，求m的取值范围。
【巩固练习】
1.选择题
（1）方程x2+3x+6=0与x2-6x+3=0 的所有实根的乘积等于（ ）
A.-18 B.18 C.-3 D.3
（2）若关于x的方程x2-2 x-1=0有两个不相等的实根，则k的取值范围是（ ）
A.k≥0 B.k＞0 C.k＞-1 D. k≥-1
2.填空题
（1）一元二次方程x2-3x-m=0有两个相等的实根，则m的值为____________。
（2）若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k-1=0有两个实数根，则k的取值范围是____________。
3. 已知关于x的方程(k-2)x2-2(k-1)x+k+1=0且k≤3
（1）求证：此方程总有实根；
（2）当方程有两实数根，且两实根的平方和等于4时，求k的值。
4. 已知等腰三角形的两边长a、b是方程x2-kx+12=0的两根，另一条边长c =4，求k的值。
5.已知方程组 有两组不相等的实数解，求a的取值范围。
6.若方程x2+2px-q=0（p、q是实数）没有实数根。
（1）求证：p+q＜
（2）试写出上述命题的逆命题；
（3）判断（2）中的逆命题是否正确，若正确请加以证明，若不正确，请举一反例。
初中代数第三册教案 -> 一元一次方程的 判别式