课题：数怎么不够用了

§3.1数怎么又不够用了
一、设计理念：
本章内容属于过去教材《数的开方》.在过去教材中，通常是先讲平方根、算术平方根、立方根，然后引入无理数的概念，从而把数推广为实数，最后介绍实数的运算.而新教材改变了以往的设计思路，第一课时让学生先感受生活中确实存在着不是有理数的数，我们所学的数又不够用了，激发学生学习的积极性与主动性，从而引入无理数的概念.而后面与过去教材不同的是先讲算术平方根，后讲平方根，并且在数的开方中，增加了有关估算的内容；在用计算器开方的内容中，除了让学生会用计算器求平方根、立方根之外，还注重让学生经历用计算器探求数学规律的活动，发展学生的合情推理能力.这些改变都充分体现了新课程的理念：数学教学活动是建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，获得广泛的数学活动经验.
二、学习目标：
1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性；
2.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想；
3.会判断一个数是有理数还是无理数；
4.培养学生积极探索、发现解决问题的能力，发展学生的合作与交流意识.
三、学习重点、难点：
学习重点：1、让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性；2、会判断一个数是有理数还是无理数
学习难点：借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.
四、教学准备：
1.教具准备：多媒体、两个边长为1的正方形、剪刀、短绳.
2.教法学法：动手实践、合作交流、互动探究
五、教学时间：2课时
六、教学过程：（第一课时）
章节引入：
你能求出面积为2的正方形的边长吗？你知道圆周率π的精确值吗？…它们能用整数或分数（即有理数）来表示吗？（激发学生的学习兴趣）
随着人类对数的认识的不断加深和发展，人们发现，现实世界中确实存在不同于有理数的数.本章我们将学习无理数、实数、平方根、立方根等概念，学习利用估算或借助计算器求出一个无理数的近似值，并解决有关的实际问题.
由此引出本章课题《第三章 实数》
（一）巩固旧知 复习引入
前面我们学习过哪些数？（学生互相补充、积极回忆复习）
复习有理数的概念，为本节课数的扩充打下基础.
（二）提出、分析、探索问题
将课前已准备好的两个边长为1的小正方形剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形.（学生动手操作，把学生的思维和学习积极性调动起来）
让学生到黑板进行展示.学生的做法可能有多种，教师都要及时给予鼓励.
教师利用多媒体展示其中一种剪拼过程.

[议一议]：对于图（1）
（1）设大正方形的边长为a, a应满足什么条件？
学生独立思考后，回答应满足：a2=2
教师引导：你是怎样得到的？（可利用两小正方形面积之和或勾股定理得到）
（2）满足a2=2的数a是一个什么样的数？a可能是整数吗？说说你的理由？
学生独立思考后，积极发言：
可利用直角三角形三边之间的关系或利用12＜a2＜22得到：1＜a＜2
所以a一定不是整数.
（3）a可能是分数吗？说说你的理由？
学生先个体思考，再分组讨论，最后小组派代表发言.
教师引导：若a是最简分数，则a2一定是最简分数，为什么？
可让学生多举一些实例验证，不要求严格论证.
因为a2=2，所以a一定不是分数.
在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，那么a一定不是有理数，我们所学过的数怎么又不够用了？从而引出本节课的课题.
（三）巩固验证结论
[做一做]：
如图，（1）若Rt△ABC的直角边长分别为3，4，则以
Rt△ABC的斜边为边长的正方形的面积是多少？S=25.
（2）若Rt△ABC的直角边长分别为1，2，则以
Rt△ABC的斜边为边长的正方形的面积又是多少？S=5.
（3）此时，若设该正方形的边长为b，b应满足什么条件？b2=5.
（4）b是有理数吗？
学生类比引例中的方法来说明b既不是整数，也不是分数，所以b不是有理数.
由以上两个实例进一步得出结论：我们所学过的数确实不够用了.
[读一读]：课本第47页“读一读”的第二段.
引发学生思考：希伯索斯提出了一个什么问题，而为此被投入了大海？
学生回答：边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比（分数）来表示？
学生利用所学过的知识进行解释，进一步丰富无理数的实际背景，同时对学生进行积极探索、敢于质疑的数学素养培养.
（四）应用拓展
[练一练]：B、C是一个生活小区的两个路口，BC长为2千米，A处是一个花园，从A到B、C两路口的距离都是2千米，现要从花园到生活小区修一条最短的路，这条路的长可能是整数吗？可能是分数吗？
学生自己动手画图，独立思考后小组讨论交流，并派代表到
讲台上讲解.
[试一试]：如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，试从
连接这些小正方形的两个顶点所得到的线段中，分别找出两条
长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段.

组织学生进行充分的分组讨论交流，老师巡视指导，然后请学生到讲台上用一条绳子展示所连接的线段，并对每一种答案再交由学生共同讨论它的正确性.
教师应给予及时的表扬与肯定，并对语言表达较好的学生给予记录.
（五）小结反思：
请谈谈本节课你有什么收获与体会？有哪些困难需要别人帮你解决.
感受我们以前所学过的数确实不够用了；
鼓励学生积极探索、发现、解决问题，敢于对问题进行质疑、挑战.
（六）快乐作业：
1.巩固性作业：课本45页的习题3.1第1题
2.推荐性作业：
尝试探索面积为2的正方形，边长a究竟是多少？