一次函数

一次函数

　　教学目标：

　　1、知道一次函数与正比例函数的意义．

　　2、能写出实际问题中正比例关系与一次函数关系的解析式．

　　3、渗透数学建模的思想，使学生体会到数学的抽象性和广泛的应用性．

　　4、激发学生学习数学的兴趣，培养学生分析问题、解决问题的能力.

　　教学重点：对于一次函数与正比例函数概念的理解．

　　教学难点：根据具体条件求一次函数与正比例函数的解析式．

　　教学方法：结构教学法、以学生“再创造”为主的教学方法

　　教学过程：

　　1、复习旧课

　　前面我们学习了函数的相关知识，(教师在黑板上画出本章结构并让学生说出前三节的内容)

　　2、引入新课

　　就象以前我们学习方程、一元一次方程；不等式、一元一次不等式的内容时一样，我们在学习了函数这个概念以后，要学习一些具体的函数，今天我们要学习的是一次函数.

　　顾名思义，谁能根据一次函数这个名字，类比一元一次方程、一元一次不等式的概念能举出一些一次函数的例子？（学生完全具备这种类比的能力，所以要快、不要耽误太多时间叫几个同学回答就可以了.教师将学生的正确的例子写在黑板上）

　　这些函数有什么共同特点呢？(注意根据学生情况适当引导,看能否归纳出一般结果.)不难看出函数都是用自变量的一次式表示的,可以写成

（ ）

　　的形式．

　　一般地，如果

（ 是常数， ）（括号内用红字强调）

　　那么y叫做x的一次函数．

　　特别地，当b＝０时，一次函数 就成为

（ 是常数， ）

　　3、例题讲解

　　例1、某油管因地震破裂，导致每分钟漏出原油30公升 

　　（1）如果x 分钟共漏出y 公升，写出y与x之间的函数关系式

　　（2）破裂3.5小時后，共漏出原油多少公升

　　分析：y与x成正比例

　　解：（1）

　　（2） （升）

　　例2、小丸子的存折上已经有500元存款了，从现在开始她每个月可以得到150元的零用钱，小丸子计划每月将零用钱的60%存入银行，用以购买她期盼已久的CD随身听（价值1680元）

　　 （1）       列出小丸子的银行存款（不计利息）y与月数x 的函数关系式；

　　 （2）       多长时间以后，小丸子的银行存款才能买随身听？

　　分析：银行存款数由两部分构成：原有的存款500元，后存入的零用钱

　　解：（1）

　　（2）1680=500+90x解得x=13.…

　　所以还需要14个月，小丸子才能买随身听

　　例3、已知函数 是正比例函数，求 的 值

　　分析：本题考察的是正比例函数的概念

　　解：

　　　

　　说明：第一题让学生上黑板来完成，二、三题学生分组讨论每个组讨论出一个结果，写在黑板上

　　4、小结

　　由学生对本节课知识进行总结，教师板书即可.

　　5、布置作业

　　书面作业：1、书后习题　2、自己写出一个实际中的一次函数的例子并进行讨论

　　例1 列出下列函数关系式，判别其中哪些为一次函数、正比例函数．

　　(1)正方形周长p和一边的长a．

　　(2)圆的面积A与半径R．

　　(3)长a一定时矩形面积y与宽x．

　　(4)15斤梨售价20元．售价y与斤数x．

　　(5)定期存100元本金，月利率1.8％，本息y与所存月数x．

　　(6)水库原存水Q立方米，现以每小时a立方米的流量开闸放水，同时上游以每小时b立方米的流量向水库注水，求这时水库的蓄水量M与时间t的函数关系．

　　分析：根据几何知识或实际意义列出两变量之间的关系式，再由一次函数和正比例函数的概念进行判别．

　　解：(1)∵p=4a．自变量a为一次且其系数为4(不为零)．∴p为a的一次函数．又∵不含常数项所以也是正比例函数．

　　(2) ，自变量R的次数是二次，所以不是一次函数，也不是正比例函数．

　　(3)y=ax，自变量x为一次且系数a为长度(不为零)．∴y是x的一次函数．∵不含常数项．∴y也是x的正比例函数．

　　

　　(5)y=100+100×1.8%x，自变量x的次数为一次，又含有常数项．∴y是x的一次函数但不是正比例函数．

　　(6)M=Q+(b-a)t，因为自变量t的次数为一次，当a≠b时，M是t的一次函数．若Q=0时，M是t的正比例函数；若a=b时，M是常量函数，不是t的一次函数．

　　说明：在实际问题中要注意自变量的取值范围.（限于学生的认识水平，教师可酌情处理取值范围问题）

　　(1)中正方形边长a＞0．

　　(3)中矩形的宽0＜x＜a．

　　(4)中梨的斤数x≥0．

　　(5)所存月数x≥0．

　　

　　例2、某工厂有煤m吨，每天烧煤n吨．现已知煤烧3天后余102吨，烧煤8天后余煤72吨，问烧煤15天后余煤多少吨？

　　分析：设烧煤x天后余煤y吨，则可建立函数关系式y=m-nx．又知当x=3时，y=102；x=8时，y=72．从而组成方程组

　　求出m、n后再代回y=m-nx中，令x=15求出y．

　　解：设烧煤x天后余煤y吨，则余煤数与烧煤天数之间的函数关系式是

y=m-nx

　　由题意知x=3时y=102，x=8时y=72，可得

　　从而求出n=6，m=120．

　　所以函数关系式是y=120-6x(0＜x≤20)

　　当x=15时，y=120-6×15=30

　　答：烧煤15天后余煤30吨．

　　说明：列方程可以解应用题，利用函数观点分析实际问题中条件列函数关系式也可以解决实际问题．

　　例3 已知y-3与x成正比例函数，且x=2时，y=7．

　　(1)求y与x之间的函数关系式．

　　(2)求当x=2时y的值．

　　(3)求当y=-3时x的值．

　　分析：y-3与x成正比例函数；把y-3看成一个变量，首先就可设y-3=kx(k≠0)

　　解：(1)∵(y-3)是x的正比例函数

　　　∴设y-3=kx(k≠0)

　　　把x=2时y=7代入上式得k=2

　　　∴y与x的函数关系式为y=2x+3

　　　y是x的一次函数

　　　(2)当x=2时，y=2×2+3=7

　　　(3)当y=-3时，-3=2x+3 ∴x=-3

　　说明：①把y-3当作一个整体变量来看待．②凡是正比例函数，一律设成y=kx(k≠0)形式．③已知自变量的值求函数值，或已知函数值求自变量的值都只需代入函数关系式通过计算求得．