一次函数与二元一次方程组

第十课时

    １．学会利用函数图象解二元一次方程组．毛

    ２．通过学习了解变量问题利用函数方法的优越性．

    １．经历观察、思考等数学活动，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述观点．

    ２．体验数形结合思想意义，逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力．

    ３．体会解决问题的策略多样性，发展实践能力和创新精神．

    １．积极参与活动，提高学习兴趣及求知欲．

    ２．养成实事求是的态度及独立思考的习惯．

    １．归纳图象法解二元一次方程组的具体方法．

    ２．灵活运用函数知识解决实际问题．

    灵活运用函数知识解决相关实际问题．

      引导─启发

      思考─探究．

    多媒体演示．

    [师]我们知道，方程3x+5y=8可以转化为y=- x+ ，并且直线y=- x+ 上每个点的坐标（x，y）都是方程3x+5y=8的解．

    由于任何一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式．所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线．

    那么解二元一次方程组

    可否看作求两个一次函数y=- x+ 与y=2x-1图象的交点坐标呢？如果可以，我们是否可以用画图象的方法来解二元一次方程组呢？

    我们这节课就来解决这些问题．

    [师]我们先来研究刚才那个二元一次方程组，同学们认真思考一下，讨论讨论，发表一下自己的看法，好吗？

    [生]我想可以看作求两个一次函数图象交点坐标的问题，因为函数解析式是方程转化而得到的．图象是函数的另一种表示方式，图象交点坐标当然满足方程组了．

    [师]很不错，大家不妨试着用图象法解一下这个二元一次方程组，并检验一下是否确实是它的解．

    [生]我们已经作了，交点的坐标也确定就是方程组的解．

    [师]你能归纳出图象法求解二元一次方程组的具体方法吗．

    [生]首先把方程组中的两个方程转化为y=kx+b的形式，再在坐标系中画出两个一次函数的图象，然后从图象上观察交点坐标，写出方程组的解．

    [师]很好！

    一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这个值是多少；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．

    由此可以看出，一次函数与二元一次方程（组）有密切的关系．

    活动内容设计：

    一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式Ａ以每分钟0．1元的价格按上网时间计费；方式Ｂ除收月基费20元外再以每分钟0．05元的价格按上网时间计算．如何选择收费方式能使上网者更合算？

    活动设计意图：

    通过这个活动，熟悉巩固用一次函数知识求二元一次方程组问题的方法，进一步提高把实际问题转化为数学问题的能力．

    教师活动：

    引导学生从实际问题中抽象出具体的数学问题，并应用所学方法求解．

    学生活动：

    在教师引导下建立两种计费方式的函数模型，然后比较求解．

    活动过程及结论：

    过程一：

    设上网时间为x分钟，若按方式Ａ收费，y=0．1x元；若按Ｂ方式收费，y=0．05x+20元．

在同一直角坐标系中分别画出这两个函数图象．

    解方程组：

          得

    所以两图象交于点（400，40），从图象上可以看出：

    当0<x<400时，0．1x<0．05x+20，

    当x=400时，0．1x=0．05x+20，

    当x>400时，0．1x>0．05x+20．

    因此，当一个月内上网时间少于400分钟时，选择方式Ａ省钱；当上网时间等于400分钟时，选择方式Ａ、Ｂ没有区别；当上网时间多于400分钟时，选择方式Ｂ省钱．

    方法二：

    设上网时间为x分钟，方式Ｂ与方式Ａ两种计费的差额为y元，则y随x变化的函数关系式为：

    y=（0．05x+20）-0．1x

    化简：y=-0．05x+20．

在直角坐标系中画出函数的图象．

    计算出直线y=-0．05x+20与x轴交点为（400，0）．

    由图象可知：

    当0<x<400时，y>0，即选方式Ａ省钱．

    当x=400时，y=0，即选方式Ａ、Ｂ没有区别．

    当x>400时，y<0，即选方式Ｂ省钱．

    由此可得如方法一同样的结论．

    [师]通过以上活动，使我们清楚看到函数在解决变量关系问题时的优越性，但在确定分界点位置时，又要借助方程来准确求值．

    联系以前所学方程（组），不等式与函数都是基本的数学模型，它们之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来，解决实际问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把这些数学模型结合起来使用．

    活动内容设计：

    两种移动电话计费方式如下：

	全球通	神州行
月租费	50元/月	0
本地通话费	0.40元/分	0.60元/分

    用函数方法解答如何选择计费方式更省钱．

    活动设计意图：

    经过这一活动，巩固所学知识，熟悉具体问题如何灵活地、有机地把数学模型结合起来使用．

    教师活动：

    引导学生灵活、有机地运用各种数学模型顺利解决实际问题．

    学生活动：

    在教师引导下，掌握解决具体问题的方法，灵活、有机地运用各种数学模型，提高分析、解决问题能力．

    活动过程及结论：

    方法一：

    设每月通话时间累计x分钟，则全球通月消费y=0．40x+50元；神州行月消费：y=0．60x元．

在同一坐标系中画出两个一次函数的图象．

    解方程组：

            得

    所以两图象交于点（250，150）．

    由图象可以看出：

    当0<x<250时  0．40x+50>0．60x，

    当x=250时  0．40x+50=0．60x，

    当x>250时  0．40x+50<0．60x．

    因此，当一个月通话时间少于250分时，选择神州行省钱；当一个月通话时间等于250分钟时，选择全球通与神州行没有区别；当一个月通话时间多于250分钟时，选择全球通省钱．

    方法二：

    设一个通话时间累计为x分，全球通与神州行两种计费差额为y元，则y随x变化的函数关系式为：

    y=（0．40x+50）-0．60x

    化简为：y=-0．20x+50

    在直角坐标系中画出这个函数图象．

计算出直线y=-0．20x+50与x轴的交点为（250，0）．

    由图象可以看出：

    当0<x<250时，y>0，即选神州行省钱．

    当x=250时，y=0，即选神州行与全球通没有区别．

    当x>250时，y<0，即选全球通省钱．

    由此可以得到与方法一相同的结论．

    本节课从二元一次方程与一次函数关联谈起，得出利用函数图象解决二元一次方程（组）的具体方法及步骤，并通过两个实例让我们看到了不同数学模型间的联系，且通过函数观点把它们统一起来，根据具体情况灵活、有机地把这些数学模型结合起来使用，为我们解决有关实际问题提供了更大的便利．

    习题11．3─6、9、10、11题．

    某校师生要去外地参加夏令营活动，车站提出两种车票价格的优惠方案供学校选择．第一种方案是教师按原价付款，学生按原价的78%付款；第二种方案是师生都按原价的80%付款．该校有5名教师参加这次活动．试根据参加夏令营学生人数，选择购票付款的最佳方案．

    [解]设参加夏令营活动的学生有x人，每张车票原价为1单位．第一种付款为y­₁元，第二种付款为y₂元，则：

    y₁=5+0．78x，y₂=（x+5）·80%=0．8x+4．

在直角坐标系中分别画出两个函数图象．

    解方程组   得

    所以两图象交于点（50，44）．

    由图象易知：

    当x<50时，5+0．78x>0．8x+4，y₁>y₂，即选第二种方案付款少．

    当x=50时，5+0．78x=0．8x+4，y₁=y₂，即选两种方案没有区别．

    当x>50时，5+0．78x<0．8x+4，y₁<y₂，即选第一种方案付款少．

11．3．3  一次函数与二元一次方程（组） 一、一次函数与二元一次方程关系 二、利用函数图象解二元一次方程组 三、用函数观点解决实际问题 四、随堂练习