三角形三条边的关系
互动式教学设计
【教学目标】
1.会按三边的关系对三角形进行分析。
2.理解三角形三边关系的定理及推论，并会初步应用它们来解决问题。
3.培养方程、分类讨论的思想，渗透逻辑推理的训练。
【教学重点和难点】
三角形三边关系的定理和推论是重点；难点是三角形按边的关系进行分类的原则。
【教学过程设计】
一．三角形按边的关系分类
教师拿出事先准备好的三个三角形，从边的大小关系角度来让学生观察它们有什麽区别？
教师注意引导学生从分类的原则—不重不漏的角度考虑三个图形的关系：
三边两两互不相等 图3—14〔a〕
三角形
至少有两边相等 有且只有两边相等 图3—14（b）
三边两两都相等 图3—14（c）
从而发现三角形按边的关系来分类只有以上三种情况。
教师给三个图中的三角形分别命名，并让学生叙述等腰三角各部分的名称，启发学生总结三角形按边的相等关系分类如下：
不等边三角形
三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
强调等腰三角形是至少有两边相等的三角形，其中包括特殊情况：底边和腰相等的等腰三角形—等边三角形。因此等腰三角形与等边三角形是一般与特殊的关系，并注意对不等边三角形的理解。
（投影）练习一 将以下四种三角形的代表字母填写在图3—15中相应的位置：
A=｛三角形｝；
B={不等边三角形}
C={等腰三角形}
D={等边三角形}
（投影）练习2 判断下列说法的正确性。
（1）不等边三角形指不是等边三角形的三角形。
（2）三角形按边分有不等边三角形、等腰三角形和
等边三角形。
通过此题，让学生对比等边三角形与不等边三角形的概念，纠正三角形分类时的习惯性错误。
二、动手实验，研究三角形三边的关系
1．实验操作，深入理解三角形的定义。
（1）让学生用事先准备好的三根木棍动手拼成三角形，量出各边的长度，并回答三角形的定义。
（2）教师引导学生思考：不在同一条直线上的任意三条线段“都”能首尾顺次相接吗？
让学生将手中三根木棍中最短的一根截取一小段，看是否还能首尾顺次相接，是否能组成三角形。连续进行此过程，得出两点：
①有两种情况不能构成三角形
当较短的两条线段之和小于第三条线段长时，三条线段未能首尾顺次相接；当较短的两条线段之和等于第三条线段长时，三条线段能首尾顺次相接，但未能构成三角形。
②不在同一条直线上的三条线段要能首尾相接构成三角形是有条件的，其中任意两条线段的长度之和必须大于第三条线段的长。
2．猜想并证明三角形的三边关系定理。
⑴继续刚才的问题，构成三角形后，三角形的三边满足什麽关系？得出猜想。
⑵启发学生利用“两点之间，线段最短”来推导定理，并写出定理的符号表示方法。
2．演绎推理，发现推论。
师：三角形的两边之和大于第三边，那麽两边之差呢？观察定理的数学表达式，如何由定理得出问题的答案？
如图3—16，在△ABC中，BC＞AB＞AC，AB＋BC＞AC， ①
BC＋AC＞AB， ②
AC＋AB＞BC。 ③
生：有移项可得出三角形两边之差
与第三边的关系。
教师提醒学生，为使三角形两边之差
为正数，在上述三个式子中，需要挑选合
适的一个来证明所需要的结论。如要证明
BC－AB与AC的关系，需选择③式变形为AC＞BC－AB。由此得出：
推论1 三角形的两边之差小于第三边。
结合三角形三边关系的定理及推论1，可从另一角度概括出第三边的范围。
推论2 三角形的第三边大于另两边之差的绝对值，且小于另两边之和。
（投影） 练习3 一个三角形的两边a=3，b=6，能确定第三边c的长度吗？能确定c的范围吗？
若c为偶数，能求出c的值吗？
答：∵︳b－a︱＜c＜b＋a，∴3＜c＜9。
只能求出的c范围，若为c偶数，则c=4，6或8。
三、应用举例，变式练习
例1 长度为下列各组数值的三条线段能否组成一个三角形？为什麽？
⑴6，10，4 ⑵5，4，8 ⑶5，10，4 ⑷5，5，8
⑸a=2m，b=3m，c=5m－1（m＞1）
教师板书（1）、（2）的格式，让学生练习其余题目。注意总结以下两点：
（1） 事实上，当三条线段两两互不相等时，只要三条线段中较小的两条之和大于第三条，就可以判断它们能构成三角形。
（2） 等腰三角形的一腰大于底边的一半。
（投影）练习4 以4cm长的线段为底，1cm长的线段为腰，能否构成等腰三角形?以1cm长的线段为底，4cm长的线段为腰呢？
通过此题，让学生总结出以下结论：已知等腰三角形的三边时，若最短边大于最长边的一半，则最长边可能为底或腰；否则最长边只可能为腰。
（板书）例2 已知：△ABC的周长是84cm，b=6（c-a），a：c=7：8。求三边a，b，c的长。
分析：将三角形三边的长看成三个未知数，题目分别提供了未知数所满足的三个等量关系，可翻译成三个方程。教师必须提早培养学生具备“列方程”的意识，而根据条件a：c=7：8，最好利用设比使解方程简化，最后还要检验是否能构成三角形。（板书详细过程）
a+b+c=8 ①
解 由题意得 b=6（c-a） ②
a：c=7：8 ③
设a=7k，c=8k，则b=6k，代入①得a=28cm，b=24cm，c=32cm。
∵28+24＞32，∴它们能构成三角形。
说明：也可直接用代入消元法解这个方程组。
（投影）练习5 一个等腰三角形周长为18cm。
（1）腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm。求各边长。
（2）已知其中一边长为4 cm，求其它两边长；若一边长为5 cm呢？
（3）（机动）若底边长是偶数，求三边长。
分析：
（1） 利用方程的观点列出关于腰长和底边长的方程组，等腰三角形的三边一般设两个未知数即可。设腰长为x cm，底为y cm，则
2x+y=18，
3x=2y+6。
解得三边长分别为6 cm，6 cm，6 cm。
（2） 因为长为4 cm的边可能是腰，也可能是底，所以需要分类讨论。照课本过程讲解，答案为一解；当一边长为5 cm时，答案为两解：5 cm，8 cm或6.5 cm，6.5 cm。
（3） 设腰长为x cm，底边长y cm，由等腰三角形腰长和底边长的关系列出2 x＞y。结合周长2 x+ y=18，代入消x后，将y的范围缩小为0＜y＜9，再用列举法得出答案：y=2 cm，4 cm，6 cm，8 cm。
四、应用定理推导边的不等关系
例3（机动）已知：如图3—17，在△ABC中，
AD为BC边中线。求证：
AD+BD＞（AB+AC）。
分析：根据所要证的不等式结构，选择恰当的
三角形来运用三角形三边关系的定理，结合不等
式的性质来进行推理。必要时可添加辅助线构造
三角形运用三边关系定理。例题见补充题4（1）。
证明∵AD为BC边中线，
∴BD=DC，（三角形中线的定义）
∴2（AD+BD）=2AD+2BD=（AD+BD）+（AD+DC）。
又∵在△ABD中，AB+BD＞AB，在△ADC中，AD+DC＞AC，即
2（AD+BD）＞AB+AC，
∴AD+BD＞（AB+AC）。
五、师生共同小结
1．三角形按边如何分类？需防止什麽错误？
2． 三角形三边满足什麽关系？三角形中的第三边在什麽范围内？
3． 如何判断三条线段能否构成三角形？
4． 计算三角形三边经常采用什麽方法？需要注意什麽问题？
5． （机动）怎样利用三角形三边的关系来证明三角形中线段的不等关系？
六、作业
补充题：
1． 三角形三条边的长分别是3，1-2m，和8，求m的取值范围。（答：-5＜m＜-2）
2． 等腰三角形中，（1）如果底边长为4cm，求腰长a的取值范围；（2）如果腰长为4cm，求底边长b的取值范围。（答：a＞2；0＜b＜8）
3． 等腰三角形底边长为5 cm，一腰上中线把其周长分为两部分之差为3 cm，求腰长。（答：8 cm）
说明：注意周长的概念，它不包括中线长。得出腰长后，需检查腰长与已知底边能否构成三角形，注意腰长需要大于底边之半。
4．D为△ABC内任一点。求证：（1）AB+AC＞BD+DC；（2）DA+DB+DC＞（AB+AC+BC）；（3）DA+DB+DC＜AB+BC+AC。
提示：（1）延长BD交AC于E，在△ABE与△CDE中使用三边关系定理；（2）连结AD，在△ABD，△ACD及△BCD中用定理；（3）类比第（1）问，三式相加。
【板书设计】
三角形三条边的关系
1．三角形按边分类 例1 练习
2．定理：
内容
数学表达式及图形 例2 小结
3．推论1 作业
推论2 |
课堂教学设计说明 本教学设计需1课时完成．
1． 三角形按边的关系分类对学生来说是难点，他们经常会把等边三角形与等腰三角形并列对待。因此，教师从三个三角形的例子正面引导学生对三角形三边的大小关系进行分类，并立即用两组练习从正、反两方面强化分类的层次性，以便有效的解决这类问题。
2． 三角形三边的关系定理与三角形的定义有着密切的逻辑联系，教师应注意让学生发现定理的形成过程，从中对学生进行逻辑思维的训练，来提高能力。
3． 利用定理或推论来证明三角形边的不等关系，可适当增加难度，教师也可将补充题改造成填空题，以便逐步培养学生会证明不等关系。
4． 各类学校学生程度不同，因此设计了一些补充题，教师则可根据学生实际情况上课选用或留作选做题。
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