中考数学总复习教案

例谈梯形中的常用辅助线

在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用。

一、平移

1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。

［例1］如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

图1

析解：过点B作BM//AD交CD于点M，则梯形ABCD转化为△BCM和平行四边形ABMD。在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范围是：

5－4<BC<5＋4，即1<BC<9。

2、平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。

［例2］如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。

图2

析解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得

∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°

则△EGH是直角三角形

因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点

所以

3、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。

［例3］如图3，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD= ，求证：AC⊥BD。

图3

析解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，易得四边形BCED是平行四边形，则DE=BC，CE=BD= ，所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD= ，所以在△ACE中， ，从而AC⊥CE，于是AC⊥BD。

［例4］如图4，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。

图4

析解：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形，即 。

所以

由勾股定理得

（cm）

（cm）

所以 ，即梯形ABCD的面积是150cm²。

二、延长

即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。

［例5］如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。

图5

析解：延长BA、CD交于点E。在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。

所以∠E=50°，从而BC=EC=5

同理可得AD=ED=2

所以CD=EC－ED=5－2=3

三、作对角线

即通过作对角线，使梯形转化为三角形。

［例6］如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。

图6

析解：连结BD，由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。所以∠ADB=∠BDE。又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，所以Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE。

四、作梯形的高

1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。

［例7］如图7，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。

图7

析证：过点D作DG⊥AB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。

因为AB=2DC，所以AG=GB。

从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。

又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。

2、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。

［例8］如图8，在梯形ABCD中，AD为上底，AB>CD，求证：BD>AC。

图8

析证：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。在Rt△ABE和Rt△DCF中，因为AB>CD，AE=DF。

所以由勾股定理得BE>CF。

即BF>CE。在Rt△BDF和Rt△CAE中

由勾股定理得BD>AC

五、作中位线

1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。

［例9］如图9，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中点，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。

图9

析证：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线，从而OE= （AB＋CD）①

在△AOD中，∠AOD=90°，AE=DE

所以      ②

由①、②得AB＋CD=AD。

2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。

［例10］如图10，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF//AD；（2） 。

图10

析证：连接DF，并延长交BC于点G，易证△AFD≌△CFG

则AD=CG，DF=GF

由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位线

从而EF//BG，且

因为AD//BG，

所以EF//AD，EF