高二上学期数学教案

组合教案2

组合(二)
【教材】组合
【目的】1.掌握组合数的两个性质,并能运用它解决一些简单的应用问题.
        2.初步掌握“一一对应”与“归纳”的思想.
        3.进一步训练用组合数公式及分类(步)计数原理解决实际问题.
【过程】：
一、复习引入
1.复习:(1)组合数的计算公式的两种表示怎样?有何用途?
(2)用组合数公式计算 , 它们有何关系?(相等)
2.引入:这种相等并非偶然,它正是本节课我们要学习的组合数的性质之一.
(出示课题)
二、新课   
1.组合数的性质一
  (1)提出问题:为什么 或 呢? 吗?将其推广到 呢?
  (2)解决问题:引导学生分三个层次解决.
a.用“取法”与“剩法”和组合的概念解释:从10个元素中取出7个元素后,还剩下3个元素.就是说,从10个元素中每次取出7个元素的一个组合,与剩下的(10-7)个元素的组合是一一对应的,因此, .(可再举几个例子)
b.推广到一般:一般地,从n个不同元素中取出m个元素后,剩下(n-m)个元素.因此,从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合,与剩下的(n-m)个元素的每一个组合一一对应,故
c.用组合数公式证明:(见教材)
  (3)几点说明:
a.这时组合数的性质一,当 时,用 ,可将组合数计算大大简化.
b.为了使公式在 时也成立,规定 .
c.公式特征:两边下标同,上标之和等于下标.
2.组合数的性质二
  (1)提出问题:见教材101页例4.
     分析:本题是一个典型的抽球问题.口袋内7个白球虽然大小相同,但它们仍是不同的元素,为了便于理解可以看成它们编上了号码:白1,白2,…白7,从而让学生理解(1)即是从8个不同元素中每次取出3个的组合,取法为 种.对于(2)可启发学生:取出的3个球中含有1个黑球,则只考虑在7个白球中取2个,因而有 种取法.对于(3)可让学生分析得出.
     启发:三个问题结果有何关系呢? = + ,你能对此作出合理解释吗?
  (2)解决问题:引导学生分三个层次解决.
a.用组合数定义解释: = + ,即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以分成两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.故根据分类计数原理,等式成立.
b.推广到一般:一般地,从 , ,… 这 个不同的元素中取出 个的组合数是 ,这些组合可分成两类:一类含 ,一类不含 ,含有 的组合是从 , ,… 这 个元素中取出( )个元素与 组成的,共有 个, 不含 是从 , ,… 这 个元素中取出 个元素组成的,共有 个,由分类计数原理得:  = + .
c.用组合数公式证明:(见教材)
  (3)几点说明:
a.这是组合数的第二个性质,在下节“二项式定理”中,将会看到它的重要应用.
b.此公式在计算、证明的过程中,同样能简化运算.
c.公式特征:下标相同,而上标差1的两个组合数之和等于下标比原下标多1上标与高的相同的一个组合数.
d.此公式的引入过程,用到了“分类”的思想,“分类”是处理排列组合问题的重要方法.

3.例题:
  例1 计算 (1)     (2)   ( 210 )
           (3) 
  例2 求证 
  例3 解方程   
  例4 求 的值.  (先求出 ,代入的所求值为466)
         4.练习:
           教材第103页练习1、2、3
三、小结:
    1.组合数的性质:(1)    (2)  = +
2.应用组合数的性质时,要点是当 时,可由 简化运算;性质二可正用,即裂项,也可逆用,即并项.
3.三个思想:“取法”与“剩法”一一对应的思想,特殊到一般的归纳思想,“含与不含其元素”的分类思想.
四、作业:教材第104页 习题第2、4题.