组合(四)
【教材】组合
【目的】1.对排列组合的知识有一个系统的了解,从而进一步掌握.
2.掌握排列组合的一些常见模型及解题方法.
3.能运用排列组合概念及两个原理解决排列组合的综合题.
【过程】：
一、复习引入
复习有关排列组合的知识点
二、新课
例1 某车间有9名工人,其中4名钳工,5名车工,现从中选出3名工人组成维修突击队,要求这个突击队中至少有1名钳工,有多少种不同的选法?
分析:由于选出的3名工人之间无顺序要求,所以是组合问题.
若选出的3人中有1名钳工,有 种选法;若选出的3人中有2名钳工,有 种选法;若选出的3人中有3名钳工,有 种选法,由分类计数原理得,共有 + + =74种不同的选法.
另解:从9名工人中选出3名工人,有 种选法,其中含“选出的3名工人全是车工”的情况有 种,则“至少有1名钳工”的选法数为 - =74种.
例2 将4本不同的书按下列方法,有多少种不同的分法?
(1)平均分成2组;
(2)分成2组,一组1本,一组3本;
(3)分给甲乙两人,各得2本;
(4)甲得1本,乙得3本;
(5)1人得1本,1人得3本.
分析(1)设这4本不同的书为a,b,c,d,选出2本,再从余下的2本中取2本的方法有 =6种.写出来有①ab,cd;②ac,bd;③ad,bc;④bc,ad;⑤bd,ac;⑥cd,ab.作为分组①⑥;②⑤;③④只能看作一个分法无顺序,即 中每 只能算一种分法,所以分组数为 =3.
(2)先取1本为1组,余下3本为另一组,写出来①a,bcd;②b,acd;③c,abd;④d,abc.因取数不同无法交换,故分组的方法有 =4种.
(3)甲得ab,乙得cd,与甲得cd然后乙得ab是不同的分法,有顺序.先让甲取(也可先让乙取),余下乙取,有 =6种.
(4)有顺序,让甲先取,乙再取有 =4种.
(5)由于1人得1本时,甲可以得1本,乙也可以得1本,故有 =8种.
指出:在处理“分组问题”时,应特别注意“均匀分组”和“非均匀分组”.所谓“均匀分组”,是指分出的各组元素的个数相等,此时,在计算方法数时,总数应除以“r!”(其中r是“均匀分组”的组数).例如,将3n个元素平均分成3组,每组n个元素的分法数应为 .此例为分组与平均分组问题,关键是弄清组与组之间有顺序还是无顺序,这样才会明白什么情况下要除?什么情况下要乘?什么情况下不乘不除?
例3 把5名学生插入4个班级,每个班至少插入1人,有多少种不同的分配分法?
分析:5名学生插入4个班级,每班至少插入1人,必然有1个班级要插入2人.先将5人分成4组,各组分别有2人,1人,1人,1人,再将这4个组分到4个班级去.
先将5人分成4组,人数分别为2人,1人,1人,1人,有 种方法, 再将这4个组分派到4个班级去,有 种分配方法,有分步计数原理共有 =240种不同的分配方法.
另解:先确定4个班级中有1个班级接收2人,有 种方法,接收2人的班级从5人中选2人,有 种选法,余下的3人进行全排列,有 种方法,由分步计数原理共有 =240种不同的方法.
指出:要防止产生如下错误:先从5人中选出4人分配到4个班级去,有 种方法,余下的1人可以4个班级中的任何一个,有 种可能性,故有 =480种不同的分配方法.事实上,这样做会出现重复:例如第一步从a,b,c,d,e5人中选出a,b,c,d分别去1～4班,第二步e去了1班,则1班接收了a与e,2班接收了b,3班接收了c,4班接收了d;若第一步从a,b,c,d,e5人中选出e,b,c,d分别去1～4班,第二步a去了1班,则1班也接收了a与e,2班接收了b,3班接收了c,4班接收了d,显然这两种情况是同一种结果.
例4 6名新教师全部分配给4所学校,每校至少1人,共有多少种不同的分配方案?
分析:6名教师全部分配给4所学校,每校至少1人,可以考虑把“完成这件事”分为两步:第一步,先将6名教师分成4组:人数分别为3,1,1,1或2,2,1,1;第二步,把这4组分配到4所学校去,相当于这4组进行全排列.
第一步,将6名教师分成4组,每组至少1人.若四组的人数分别为3,1,1,1,分组方法有 种;若四组的人数分别为2,2,1,1,分组方法有 种,有分类计数原理,分组方法有( + )种.第二步,将这4组分配到4所学校去,有 种分配方案.根据分步计数原理可得分配方案的总数为( + ) =1560种.
指出:按“完成一件事”各种可能发生的可能性进行“分类”,以及在每一类中按事件发生的过程去“分步”,是解决排列组合问题的基本方法.遇有分组问题时,应注意分清是“均匀分组”还是“非均匀分组”.
例5 从5双不同的鞋子中任取4只.
(1)取出的4只鞋子恰好配成2双,有多少种不同的取法?
(2)取出的4只鞋子至少能配成1双,有多少种不同的取法?
(3)取出的4只鞋子,任何2只都不能配成1双,有多少种不同的取法?
分析(1)共有 =10种不同的取法.
(2)分2类.第1类,取出的4只鞋子恰好配成2双,有 种取法.第2类,取出的4只鞋子有且只有2只能配成1双,分2步完成:从5双鞋子中任取1双,有 种不同的取法;第2步,从剩下的4双中任取2双,有 种取法,而这每双中又各取1只,有 种取法,所以这1步共有 种取法.由分类计数原理,共有 + =130种不同的取法.
(3)分2步.第1步.从5双不同的鞋子中任取4双,有 种不同的取法.第2步,从取出的4双的每1双中任取1只,则有 种不同的取法.根据分步计数原理,所求的取法数为 =80种.
例6 有11名工人,其中5人会钳工,4人会车工,2人既会钳工,又会车工,现从中选出4名钳工,4名车工,共有多少种选派方案?
法一:以双能工人为标准进行分类:
(1)若2个双能工人均步选出,有 种;
(2)若2个双能工人选1人为钳工,有 种;
(3)若2个双能工人选1人为车工,有 种;
(4)若2个双能工人全选为钳工,有 种;
(5)若2个双能工人全选为车工,有 种;
(6)若2个双能工人1人选为钳工,1人选为车工,有 种
故所求的选派方案总数为
+ + + + + =185种.
法二:以钳工为标准进行分类,可分为3大类:钳工选出4人;钳工选出3人;钳工选出2人.
(1)当钳工选出4人时,若双能工人不选入有 ;若双能工人选入1人,有 种;若两个双能工人全选入,有 种.
(2)当钳工选出3人时,若2个双能工人选入1人,有 种;若两个双能工人全选入,有 种.
(3)当钳工选出2人时,这时双能工人只能作为钳工,选法有 种.
故选派方案的总数为
( + + )+( + )+ =185种.
法三:以车工为标准进行分类,可分为3大类:车工全选出;车工选出3人;车工选出2人.
(1)当车工全选出时,若双能工人不选入有 ;若双能工人选入1人,有 种;若两个双能工人全选入,有 种.
(2)当车工选出3人时,若2个双能工人选入1人,有 种;若两个双能工人全选入,有 种.
(3)当车工选出2人时,这时双能工人只能全作为车工,选法有 种.
故选派方案的总数为
( + + )+( + )+ =185种.
指出:此题用分类合成法,为了不重复,不遗漏,进行分类时要认准一个标准,以避免多标准造成顾此失彼的错误.
三、小结:
四、作业:教材第104页 习题第12、13题.
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