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第26课时 幂函数（1）
江苏省通州高级中学 严东来
【教学目标】1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质．
2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力．
3．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力．
【学习指导】 本节的重点有两个：一是幂函数的定义；二是幂函数的图象与性质．研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数，如 、 及 的图象研究归纳 的图象特征和函数性质，通过对幂函数 、 及 的图象研究归纳 的图象特征和函数性质．难点也有两个：一是幂函数与指数函数定义是有区别的，学生容易混淆．二是幂函数的定义域与图象是复杂多变的，要根据指数的具体情况而定．
学习时应该注意：⑴ 研究幂函数的性质时，通常将分数指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分数形式再去进行讨论；⑵ 对于幂函数 ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即 ＜0，0＜ ＜1和 ＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意 ＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即 ＞0（ ≠1）时图象是抛物线型； ＜0时图象是双曲线型； ＞1时图象是竖直抛物线型；0＜ ＜1时图象是横卧抛物线型．
运用幂函数的性质比较函数值的大小，若底数不同，指数相同，则用幂函数的性质即可作出判断，若底数相同，指数不同，则用指数函数的性质来作出判断．解题的时候要特别注意灵活的使用幂函数的图象和性质．
【例题精析】
例1．写出下列函数的定义域，指出它们的奇偶性．并画出它们的图象，观察这些图象，看看有什么共同点？
⑴ y＝ ；⑵ y＝ ；⑶ y＝ ；⑷ y＝ ．
【分析】分数指数幂可以与根式相互转化．把各函数解析式先化成根式形式即可．
【解法】⑴ ；⑵ ；⑶y= ；⑷ ．函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断．⑴的定义域为 ，⑵⑶⑷的定义域都是R；其中⑴既不是奇函数也不是偶函数，⑵⑷是奇函数，⑶是偶函数．它们的图象都经过点 和 ，且在第一象限内函数图象自左而右呈上升趋势，即函数在 单调递增．
例2．仿照例1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象，看看有什么共同点？
⑴ y＝x－1；⑵ y＝x－2；⑶ y＝ ；⑷ y＝ ．
【分析】 先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式．
【解法】 ⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；⑴⑵⑷的定义域都是 ，⑶的定义域是 ；根据函数奇偶性的定义可得⑴⑷是奇函数，⑵是偶函数，⑶既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点 ，且在第一象限内函数图象自左向右呈下降趋势，并且以两坐标轴为渐近线．反应出这些函数在 上单调递减．
【评注】通过例1和例2的解决过程，体现数学学习的过程是一个建立在经验基础上的主动建构的过程，让学生在合作中获取知识．
【知识提炼】 1．幂函数图象
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＝ p、q互质 |
＜0 |
0＜ ＜1 |
＞1 |
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，q都是奇数 |
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p是奇数
q是偶数 |
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p是偶数
q是奇数 |
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2．幂函数图象性质
① 都过点(1，1)；
② a＞0时，在第一象限内函数的图象随x的增大而上升，函数在区间 上是单调增函数．当a＜0时，在第一象限内函数的图象随x的增大而下降，函数在区间 上是单调减函数．
③ 除原点外，任何幂函数图象与坐标轴都不相交，任何幂函数图象都不过第四象限；
④ 任何两个幂函数图象最多有三个公共点．除(1，1)，(0，0)，(－1，1)，(－1，－1)外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点．
⑤ a＞0时幂函数图象总过原点，a≤0时，幂函数图象不过原点．
例3．讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：
⑴
【分析】 根据幂函数的性质讨论定义域、奇偶性，单调性．
【解法】 ⑴ y＝x5的定义域是(－∞，＋∞)，
值域也是(－∞，＋∞)，是奇函数，
∵5＞1，∴y＝x5在(－∞，＋∞)上是增函数．
⑵∵y＝x ＝ ，
∴定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域是(0，＋∞)，是偶函数，
∵－ ＜0，∴y＝x 在(－∞，0)是增函数，在(0，＋∞)，是减函数．
【评注】由例3让学生对幂函数性质的认识有一个提升．
例4．比较下列各题中两个值的大小．
⑴(－1.5) 与(－1.7) ⑵ 3.14 与π
⑶(－5) 与(－6) ⑷ 3 与2
【分析】比较两数的大小可构造一个函数，考虑这个函数的单调区间．
【解法】 ⑴考察函数y＝x ，∵ ＞0
∴y＝x 在(－∞，0)上是减函数．
又∵－1.5＞－1.7， ∴(－1.5) ＜(－1.7)
⑵考察函数y＝x ，∵－ ＜0 ∴y＝x 在(0，＋∞)上是减函数．
又∵3.14＜π， ∴3.14 ＞π
⑶(－5) ＝－5 ，(－6) ＝－6
又5 ＞6 ∴－5 ＜－6 ，∴(－5) ＜(－6) ．
⑷∵3 ＝9 ，2 ＝< | 
