关于高中数学第三册选修（I）第二章 导数的认识和教学建议

一、选修（I）第二章导数的教材设计

1、导数是进一步学习数学和其他自然科学的基础，具有广泛的应用，是研究现代科学技术必不可少的工具。利用导数还可以解决必修课中所接触过的如判断函数的单调性与求函数的最值问题等，从而提供研究这些问题的一种新途径和方法。

2、极限是导数的基础，但为了精简选修（I）教学内容。正式本中删去了试验本中极限内容，利用极限的思想研究瞬时速度，切线的斜率和边际成本等问题作为导数的背景引入了导数的概念。

3、通过介绍y = xⁿ(n∈N^*)的求导公式以及导数的运算法则，解决多项式函数的导数，从而用导数来研究函数单调性与极值的方法。

4、选修（I）侧重讲微积分的基本思想和简单应用，而选修（II）则侧重讲微积分的基本概念、基本方法和实际应用，两者内容和要求大不相同，体现了教材的层次性。

5、通过导数的应用，§2.6微积分建立的时代背景和历史意义介绍。说明数学来源于实践，数学中普遍存在着对立统一，运动变化，相互联系，相互转化的关系，说明数学可提供自然现象，社会系统的数学模型；说明数学的内容、思想方法和语言已成为现代文化的重要组成部分。

6、按大纲的要求，选修（I）中中安排了：§2.7研究性学习课题：杨辉三角，它是高二数学第十章排列，组合与概率中学过的杨辉三角的基础上，进一步研究探索杨辉三角的基本性质及其蕴含的数量关系，通过这一节的教学，要培养学生发现问题，提出问题和解决问题的能力，要让学生去体验数学活动的过程，从而培养学生的创新精神和实践能力。

二、选修（I）正式本与试验本对照，与正式本选修（II）对照，便以恰当地把握选修（I）教学的深度和难度

选修（I）                                        选修（II）

分析对照表，又加上选修（II）的导数放在第三章，在此之前还有第二章极限内容，由此说明：选修（I）与选修（II）知识体系不同，内容不同，要求不同。

三、本章教材分析

1、本章教学要求

①理解导数概念及其几何意义，掌握函数y=xⁿ(n是正整数)的求导公式，会求多项式函数的导数。

②会用导数求曲线的切线方程，理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式的单调区间、极大值、极小值和闭区间上的最大值和最小值。

③让学生领悟到物理中的速度和几何中的切线的真实意义，并体会导数概念在阐明类似速度，切线的斜率等变化率时所起的作用。

④了解微积分建立的时代背景和历史意义，进一步形成客观事物量有相互制约，相互转让，对立统一的辩证关系的观点。

⑤通过“研究性课题：杨辉三角”学会提出问题，体验教学活动的过程，培养创新精神和应用能力。

2、本章的重点：导数的概念与法则，掌握多项式函数的求导方法，导数的

简单应用

         难点：极限与导数的概念

3、本章教学内容分析

（一）导数的背景

（1）本节通过分析三个具体的实际问题，求瞬时速度、切线的斜率求法和边际成本的计算，并运用极限思想加以说明，为引出导数的概念提供背景。学了导数以后，又可以直接用导数求切线的瞬时速度，切线斜率，边际成本等。

（2）对于瞬时速度，首先讲清t₀至t₀ +△t时间内平均速度为 ，其次结合自由落体运动让学生理解△t→0时， →v（瞬时速度），最后明确用极限求瞬时速度可分为三步：①求△s（用△t表示△s）；②求 ；③ 当△t→0时的极限。

（3）教科书用割线的极限位置定义切线，应使学生注意，点Q是沿曲线点P接近的，这样才能形成过点P的新的割线，考察点Q沿曲线无限趋近于P时割线的变化情况，如果此时割线无限趋近于一条直线PT，那么直线PT就是在点P处的切线，如果曲线在某点P处有切线，只需确定切线的斜率，由定义可知，过点P的切线斜率就是△x→0时过点P的割线的斜率的极限，教科书举例说明了如何用极限求切线，注意讲清△y是怎样由△x表示。

（4）本节所讨论的三个问题（瞬时速度、切线的斜率和边际成本），虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。

（二）导数

（1）本节学习导数的概念，应使学生理解导数的概念及其几何意义。本节内容可分为三部分：即由切线的斜率、瞬时速度和边际成本引出一点处导数的定义；由一点处的导数扩展为导数函数的概念；由导数定义归纳出按定义求导数的方法。

（2）从（一）可以看到，研究函数时，需要研究函数的平均变化率（函数的增量与自变量的增量比） 当△x→0时的极限，由此引出函数在点x₀处导数的概念，此时，△x是自变量（x₀是常数），而 是△x的函数，导数y’| 就是△x→0时函数 的极限，应使学生注意，当△x→0时△x→0有极限，函数y=f(x)在x₀处有导数；否则就没有导数。

（3）导数的几何意义是：函数y = f (x)在x₀的导数，就是过y = f (x)的图象上点（x₀，f(x₀)）的切线的斜率，例1说明了求一点处函数导数可分三个步骤：①先求在该点处函数的增量；②再求平均变化率；③最后取极限。

（4）函数y = f (x)的开区间（a，b）内的每一点都有导数，也就是对于每一个x∈(a,b)，△x→0时 都有极限，而极限是一个确定的值，所以x与y=f’(x)的对应构成一个新的函数，这个函数是（a,b）内任一点x处的平均变化率的极限，也就是区间（a,b）上的导数，从这个函数的构成可以看出：y’| =f’(x₀)，即函数y = f (x)在x₀处的函数值，因此，求出函数y = f (x)在（a,b）上的导数y = f ‘(x)，就可以求出区间内任一点x₀处的导数，这只要把x = x₀代入y = f ‘(x)去求函数值就可以了，所以今后主要研究区间上的导数，例2说明了按定义求导数的步骤及由y’| =f’(x₀)求一点处的导数。

（三）导数的运算法则

（1）本节学习导数的运算法则，应使学生掌握函数y = xⁿ（n∈N*），有了这些公式就可以直接求得y = C及y = xⁿ（n∈N*）的导数，教科书不加证明地给出两个函数的和或差的导数及常数与函数的积的导数的运算法则，有了这个运算法则，就可以求有理整函数的导数了，因此教科书没有介绍两个函数的积或商的导数，求两个函数的积的导数也可以先求出这两个函数的积再求导数，如例1第（4）小题，用导数的定义可以证明教科书中给出的导数运算法则。

（3）例2说明用导数求切线的斜率和切线方程，由导数的几何意义，过曲线y = f(x)上(x₀，y₀)的切线的斜率，就是函数y = f(x)在x₀处的导数，求出切线的斜率，就可以由点斜式求出切线的方程了，从例2可以看出：由于引入导数，求切线的斜率的问题得到更好的解决。

（四）函数的单调性与极值

（1）本节学习函数单调性与极值，应使学生理解极大值、极小值的概念，并会用导数求有理数函数的极大值、极小值。

（2）教科书通过观察函数y = x² – 4x +3的图象，直观地说明了函数的导数y = f’(x)的符号与函数的单调性之间的关系，进而给出一般的结论，例1、例2说明用导数求函数的单调区间的方法，即求导数y = f’(x)：解不等式 f’(x)＞0和 f’(x)＜0，确定函数y = f(x)的单调区间。

（3）函数极值是在某一点附近的小开区间内定义的，如果在这个小区间内，该点的函数值比它附近各点的函数值都大（或小），那么该点的函数值是极大值或极小值，也就是说，函数的极值是相对于一个局部而言的。因此，一个函数在整个定义域内可能有多个极大值或极小值，并且对同一函数来说，某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，教科书通过例2的分析，直观地说明了判定函数极值的方法，可以举例说明，在求函数的极值时，除了f’(x₀)=0的条件外，还要考虑f’(x₀)=0的条件外，还要考虑f’(x)在x₀附近两侧的正负情况，例如，f(x)=x³的导数是f’(x)=3x²，在x =0处有f(0) = 0，但f(x)在x =0没有极值，例3说明了用导数求函数极值的方法，可以列表观察f’(x)的符号变化。

（五）函数的最大值与最小值

（1）通过本节学习，使学生理解最大值、最小值概念，并会用导数求有理函数的闭区间上的最大值和最小值，解决在日常生活、生产和科研中的实际问题。

（2）从图2-7可以直观地看到，函数在[a,b]的最大值是函数各个极大值与端点函数值f(a)，f(b)的最大者；最小值是函数各个极小值与端点函数值f(a)，f(b)的最小者，由此得出用导数求最大值与最小值的方法并用例1加以说明，在例1中，4x³ – 4x =0的解法如下：由4x³ – 4x =0，得4x (x ² – 1)=0。因此4x =0或x ² – 1=0，即x₁ =0，x₂ = -1，x₃ =1。

（3）例2说明了如何求实际问题中的函数最大值或最小值，解题的关键是分析实际问题得出函数解析式，并得出符合实际问题的解。

（六）小结与复习

（1）本章内容为导数，即导数的概念、运算以及导数的应用。首先从导数的三个具体问题作为背景，引入导数的概念与运算法则，并介绍导数在求切线的斜率、瞬时速度以及确定函数的单调性与极值等方面的应用，在进行小结与复习时，注意让学生获得对本章内容的整体认识，把握知识发展的脉络。

（2）导数应用广泛。通过求导数可以得到曲线在一点处的切线的斜率，进而得出过这一点的一切线的方程；利用函数的导数还可以研究函数的单调性和极值，在生产建设和科学技术中，要求“用料最省”、“体积最大”等实际问题，常常可以用求函数的最大值与最小值的方法来解决。

（3）参考例题是用导数求实际问题中函数的最大值或最小值，例题可用来复习巩固本章内容。

四、对本章教学的一点认识和建议

1、着眼于全面提高学生的素质，更好地面向大多数学校与学生是《新课程计划》和《新大纲》的精神，本章内容的选择与编排选用了微积分初步知识中最必要，最基础的内容，即微积分的基本思想和简单应用。

2、本章教材的编写注意调动学生学习的积极性和主动性，教材在内容的呈现上注意了联系实际，注意展示知识形成的过程，教学中要注意使学生在获取知识和运用知识的过程中，发展思维能力，提高思维品质，从而加深对所学知识的理解，如极限思想的渗透，导数背景内容的安排，导数概念的形成教学等。

3、重视数学知识的应用是《新大纲》强调的重点之一，理论联系实际是编写教材的重要原则之一，本章的编写反培养学生用数学的知识贯穿于始终。

从本章的章头图和第一节导数的背景介绍都是选用了实际背景的问题，第四节、第五节运用学到的导数知识去解决实际问题，教学中要注意引导学生在解决实际问题中提高分析问题和解决问题的能力。

4、有了导数的公式与法则，就不用根据定义求导数了，而是直接运用公式与法则求导数，这样，求导数的过程得以简化。

5、可以利用导数研究函数的单调性与极值，在求函数的极值时，除了f ’(x₀)=0的条件外，还要考虑f ’(x)在x₀附近两侧的正负情况。

6、极大（小）值与最大（小）值的区别与联系，极植是局部性概念，最大（小）值可以看作整体性概念，因而在一般情况下，两者是区别的，极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，但如果连续函数在区间（a,b）内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值。

7、教学中要认真对照选修（I）与选修（II）不同的教学内容和教学要求，如选修（I）只要求对多项式函数求导，不要任意加深和拔高。