数学建模实例一束
山东省郓城师范学校（邮编274700） 任长启
1） 球赛问题
设S={S1,…,S6}为参加某届世界乒乓球比赛的中国全体队员的集合；其中，S1,S2,S3为三名男队员；S4,S5,S6为三名女队员。
T={t1,…,t7}为参加的所有项目；其中
|
项目 |
团体 |
单打 |
双打 |
混合 |
|
男 |
t1 |
t3 |
t5 |
t7 |
|
女 |
t2 |
t4 |
t6 |
考察S和T的元素间所遵循的关系。
配合关系R0: S×S→[0,1],
1 0.6 0.8 0.4 0.5 0.3
0.7 1 0.5 0.1 0.3 0.2
0.5 0.7 1 0.4 0.3 0.1
R0 = 0.4 0.1 0.2 1 0.7 0.9
0.5 0.2 0.1 0.9 1 0.5
0.3 0.1 0.4 0.6 0.7 1
例如：其中R0（S1,S3）= 0.8表示S1给S3配合较好。
注意：R0（S3,S1）= 0.5≠0.8 .
得分指标R1:S×T→[0,1]
1 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 1
1 0.8 0 0 0 0
R1 = 0 0 0 1 0.8 0.5
0 1 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0
0 1 0 0 0 1
例如： 其中R1（S1,t1）= R1（S2,t1）== R1（S3,t1）=1意指获得男子团体冠军； R1（S2,t3）=0.8意指队员S2获得男单亚军；R1（S6,t4）=0.5意指队员S6获得女单第三名。
我们希望通过R0和R1之间的联系检验出每个队员在各项比赛中实际发挥的作用。递归的定义矩阵Mk如下：
M1 =R1
Mk =Mk-1·R0 (1)
这里“·”是矩阵乘法Max(Min)；其中，和与积分别由Max与Min运算得到。
由公式（1）得：
1 1 1 0.4 0.5 0.3
0.5 0.2 0.4 1 1 1
1 0.8 0.8 0.4 0.5 0.3
M2＝R1·R0 ＝ 0.5 0.2 0.4 1 0.8 0.9
0.7 1 1 0.4 0.3 0.2
0.5 0.2 0.2 1 1 0.9
0.7 1 0.5 0.6 0.7 1
1 1 1 0.5 0.5 0.5
0.5 0.5 0.5 1 1 1
1 0.8 0.8 0.5 0.5 0.5
M3＝M2·R0 = 0.5 0.5 0.5 1 0.8 0.9
0.7 1 1 0.4 0.5 0.4
0.5 0.5 0.5 1 1 0.9
0.7 1 0.7 0.7 0.7 1
1 1 1 0.5 0.5 0.5
0.5 0.5 0.5 1 1 1
1 0.8 0.8 0.5 0.5 0.5
M4＝M3·R0＝ 0.5 0.5 0.5 1 0.8 0.9
0.7 1 1 0.5 0.5 0.5
0.5 0.5 0.5 1 1 0.9
0.7 1 0.7 0.7 0.7 1
显然M4 ＝M4+k (k=0,1,2,…)为收敛的极限矩阵。
2） 人事管理问题
设A={a1,a2,…,am}为一组成员的全体；
B={b1,b2,…,bn}为能力的集合；它们所遵循的关系如下：
支配关系R0: A×A→[0,1],
蕴涵关系R1: B×B→[0,1],
能力指标R2: A×B→{0,1},
我们希望通过正常和非正常关系之间的联系，弄清每个成员确实具有的能力。
递归的定义M k 如下:
M1 ＝R2,
Mk =(Mk-1 ·R0)∪ (R1·M k-1 ) (2)
其中，“∪”表示矩阵对应项的并（Max）。
我们定量的令m=4,n=3,且
1 0.8 0.3 0.1
0.2 1 0.9 0.5
R0 ＝ 0.1 0.3 1 0.7
0.9 0.4 0.1 1
1 0.9 0.3 0 1 1 0
R1＝ 0.1 1 0.5 , R2＝ 1 0 1 1
0.7 0.2 1 1 1 0 0
由公式（2），得：
M 2 ＝ (R2·R0)∪ (R1·R2)
0.2 1 1 0.7 0.9 1. 1 0.9 0.9 1. 1 0.9
＝ 1 0.8 1 1 ∪ 1 0.5 1 1. ＝ 1 0.8 1 1
1 1 0.9 0.5 1 1 0.7 0.2 1 1 0.9 0.5
M3 =(M2 ·R0)∪ (R1·M2 )
0.9 1 1 0.9 0.9 1 1 0.9 0.9 1 1 0.9
= 1 0.8 1 1 ∪ 1 0.8 1 1 = 1 0.8 1 1
1 1 0.9 0.7 1 1 0.9 0.5 1 1 0.9 0.7
显然M3 =M3+k (k=0,1,2,…)为收敛的极限矩阵。
3） 潜在支配关系的作用问题
对四维有限集{S,P,T,R};作为一个定量的例子，考察一个组织在S={S1,S2,S3,S4},P={p1,p2,p3,p4,p5} T={t1,t2,t3}所遵循的关系。
成员的影响关系R0：S×S→[0,1] ;且
1 0.2 0.3 0.8
0.1 1 0.6 0.5
R0= 0.2 0.9 1 0.4
0.3 0.5 0.7 1
上下级关系R1：P×P→{0,1}；且
1 1 1 0 0
0 1 0 0 0
R1 = 0 0 1 1 1
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
这里如 R1(p1,p2)=R1(p1,p3)=1 意指p2 和p3 都是p1 的直接下级。
任务间的牵连关系R2：T×T→{0,1}；且
1 0 0
R2= 0 1 1
0 0 1
其中R2(t2,t3)=1 意指t2 对t3 有直接牵连，R2(t3,t2)=0 意指t3 对t2 无直接牵连。
人事安排关系R3 : S× P→{0,1} 且
0 0 1 0
1 0 0 0
R3= 0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
其中R3(S2,p3)=R3(S2,p4)=1 意指 S2 担任两个职务p3 和p4 。
任务分配指标R4:P×T→{0,1} ，且
1 0 0 0 1
R4= 0 0 1 0 0
0 1 0 1 0
其中R4(p3,t2)=1 意指职务p3 担负任务t2 。
我们希望通过正常和非正常关系的联系，检验出每个成员所担负的任务。递归的定义矩阵Mk 如下：
M1=R4·R3
Mk=( Mk-1·R0) ∪ (R4·R1 k-1·R3) ∪ ( R2·Mk-1)
其中R1 k-1=R1·R1·…·R1, 或R1 k-1=R1 k-2·R1 (k ≥2);
k-1个
由公式（3）得：
M1=R4·R3
0 0 1 0
1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1
= 0 0 1 0 0 · 0 1 0 0 = 0 1 0 0
0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0
0 0 0 1
M2=( M1·R0) ∪ (R4·R1·R3) ∪ ( R2·M1)
0.3 0.9 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1
= 0.1 1 0.6 0.5 ∪ 0 1 0 1 ∪ 1 1 0 0
1 1 0.6 0.8 1 1 0 1 1 1 0 0
1 1 1. 1
= 1 1 0.6 1
1 1 0.6 0.8
M3=( M2·R0) ∪ (R4·R12·R3) ∪ ( R2·M2)
1 1 1. 1 1 1 1 1 1 1 1. 1
= 1 1 0.7 1 ∪ 0 1 0 1 ∪ 1 1 0.6 1
1 1 0.7 0.8. 1 1 0 0 1 1 0.6 0.8
1 1 1. 1
= 1 1 0.7 1
1 1 0.7 0.8
显然 M3 =M3+k (k=0,1,2,…) 为收敛极限矩阵。
参考资料
1．任长启，“角色”理论的应用，数学通报1995.8，P38 .
高等教育论文 -> 数学建模实例一束