优化解题途径 提高解题速度

优化解题途径 提高解题速度

江苏省宜兴中学 张祖寅 高考数学试卷全卷运算量是40%的考生在120分钟内完成全卷的解答为标准.这里的所谓完成不含复核时间，而且运算量的估计也以一般通用解法为准.而数学题往往存在一题多解、运算量悬殊的现象.同一道题不同的解题途径，会反映不同的运算量、不同的解题速度.因此根据问题的不同条件和特点,合理选择解题途径,是提高解题速度的关键.

在解题时把注意力和着眼点放在问题的整体(或局部整体)上,通过对其全面、深刻地考察,从宏观上理解和认识问题的本质,挖掘和发现整体结构中已有元素的地位和作用,从而找到快速解决问题的途径.

例1 求 的值.

分析 这是一道三角式化简求值的常规题.常用方法的运算程序是:积化和差,和差化积,约分,半角公式.可以看出,这种方法的运算路径较长,所用公式较多,不仅费时,而且容易发生错误.

如果换一个角度来考虑,由 给我们一个提示.于是

原式

    .

这种解法只用了一次和角分式,显然比常规方法简捷.

此解法的关键是由 到 的变形转化.可以说这种转化在局部上看是化简为繁,但总体上看却是化繁为简.由此说明运算过程中繁简是相对的, 局部的化简为繁是为了总体的化繁为简.

在解题的思维进程中遇到了困难要退回来进行反思,细心观察,自觉地调整思维活动方向,排除障碍,另辟蹊径,从而快速求解.

例2 已知 ,求实数 、 的值.

分析 若先将条件等式的分母实数化,则其运算量很大,所以我们必须回过头来对条件等式作便加深入的研究,通过全面细致的观察,可以发现左右两端的分子与分母之间存在着微妙关系.

 

. 1 .

 

 

;

.

于是条件等式可简化成 .

这样,实数 、 的值便很快可以求得.

任何综合题都是由各方面知识巧妙揉合而成的,越是难题,越要善于将原题分解为一些间单问题来研究,以便分而治之, 各个击破.

例3 已知两集合 ,且M= ,

N= , ,求实数 的取值范围.

分析 第一层次是将原题分解为下面几个问题：① M、N各代表什么曲线？② 什么情况下两曲线才有交点？

         第二层次是当两曲线相交时，得到含 的二次方程有解.

         又分解为下列问题:

 ①二次方程 在[-1,1]区间上有解的条件是什么?

 ②抛物线 与 轴有交点,在对称轴为 的情况下,最简必要条件是什么?

 略解 M为抛物线 ,N为椭圆 ,代入整理得

,此方程只要在区间[-1, ]内有解, ,须 且 ,从而求得 .

凡结论涉及到定值、定点问题,如果我们事先不知道定值、定点是什么,可先从特殊情况入手,把定值、定点先定下来,使论证有一个明确的方向,从特殊情况的论证中借鉴相似之处.

例4 若椭圆焦点为 、 ,P为椭圆上任一点, 中 的平分线交椭圆长轴于D, 的内心为I,求证 为定值.

 

. 2 .

 

 

分析 定值是多少?题中未给出,证明方向不明,先将P选作特殊点.若令P为短轴一端,此时D重合于原点,内心I在PO上,有 .目的明确了,并揭示出简单的证法.

略证 如图

     为定值.

由一个事物想到与其相关联的另一事物,通常是将空间问题转化为平面问题,将平面问题转化为同一直线上的问题,将多元转化为少元,将高次转化为低次,从而使问题间单化的直觉思维方式.

例5 已知三棱锥P―ABC三条侧棱PA、PB、PC两两垂直.求证:

.

分析 将直三面角与直角三角形作类比.证勾股定理时采用的方法是作斜边上的高.类似地,过P作平面ABC的垂线PH,垂足为点H.

略证 设延长AH交BC于D,连BH、CH. 则PH是直角ΔAPD斜边AD上的高.

那么

        ①

同理可得   ②        ③

由 ①+②+③ 即得 .

在解涉及到多个变元的相互关系的问题时,先假定其它变元的相互关系相对固定,而去调整其中两个变元的位置(或数量)关系,从中发现变化规律,把已知与未知和谐地显示出来,使已知准确简捷地过渡到未知.

例 6 设 、 、 是非负实数,且满足 ,求 的最大值与最小值.

解 先求最大值.

由已知可得  ,且 .

 

. 3 .

 

则

当且仅当 时,“=”号成立.

因此 的最大值为9.

再求最小值

由已知可得 ,且 .

则 .

当且仅当 时,“=”号成立.

因此 的最小值为4.

评注 本题的解法看来简单.其实这种规范化的格式掩盖了曲折的一面.试想如果消元选择的是 ,那么,构造出来的表达式应该是 ,它无论如何是不能确定一个不等式.显然构造这样的表达式是不成功的.但是,联系变量 、 、 的约束条件,细心观察不难发现它的症结所在:右边表达式中 、 的系数不同号.考虑到 是对称式,而条件 是非对称式,再试一次,调整消元的字母,问题就解决了.

运用逻辑划分的思想，对问题进行分类讨论的能力，是中学数学教学中应重视培养的一种重要能力.但分类讨论不是目的,而是手段,而且是不得已时的手段.尽可能地避免讨论是我们努力追求的目标.为此,分析运动、变化的根源,探索变换转化的方法是实现此目标的根本途径.

例 7 比较 与 的大小(其中 >0, ,0<  <1).

分析 去绝对值符号的常规方法是分 >1和0< <1进行讨论,这样显然费时.我们的想法是:能否将底变为固定的常数,或将底 去掉呢?对前者可用换底公式实现,对后者,作商比较即可.

解法一  -

       

又 (0,1) ,所以 < .

 

 

. 4 .

 

    解法二

       > .

    所以 < .

    八 数形结合 加强直观

 把数量关系的精确刻划与几何图形的形象直观有机地结合起来,便于充分揭露问题的条件与结论之间的内在联系(包括原有的隐含条件),在此基础上恰当地变更问题或变换解题角度,采用数形结合的手段来简化运算过程,提高解题速度.

例8 解不等式  >   .

解 先作出函数 的图象,它是以原点为圆心, 为半径的在X轴上方的半圆;再作出函数 的图象,它是一条斜率为2,过点(0, )的直线.

当 >0时,

由图①知,当 <0时,总有 > 成立;   

当 <0时,

由 解得 ,

由图②知,当 时,总有 > 成立;

于是,不等式的解为

当 >0时, <0;

当 <0时, .

以上从八个方面探讨了优化解题途径，提高解题速度的做法.但是,我们更应特别强调的是解题速度的提高来自于同学平时练习中的一丝不苟.在平时练习中,眼高手低,粗枝大叶,怕麻烦,不愿深入思考,广泛发散联想,必将造成解题速度难以提高甚至退化.这就是说,解题速度的提高,一方面应加强知识、方法和数学思想的学习,为提高速度提供物质基础;另一方面应注意培养自己良好的思维品质与心理素质.只有这样,才能真正地提调解题速度.

 

参考文献

   任子朝主编《高考能力测试与试题设计》北京教育出版社 2001.1

 

. 5 .