从整体角度选择思维起点
谭志兵
宣城市水阳镇裘公中学 242043
摘要：数学是一个有机整体，观察与思考数学问题时着眼结构的整体性，可以
使思维简缩，有利于确定解题的入手方向或总体思路。在教学中，我们
要积极引导学生全面考虑问题，养成整体分析的思维习惯，从宏观角度
寻求完整、和谐、有序和奇妙的数学解法，提高他们的整体意识，培养
他们良好的思维品质，以优化他们的数学素质结构。本文结合实例，从
六个方面概括了如何从整体角度选择思维起点。
关键词：整体角度、思维起点、设元、代换、求和、求积、补式、补形
思维起点的选择建立在分析的基础上，有些数学问题，如果从局部人手，用
习惯性的思维方式思考，则头绪纷繁，不易突破，但若能从宏观上进行整体分析，抓住问题的框架结构和本质关系，运用“块状”思维，把一些貌似独立而实质上
又紧密联系的量视为系统中的整体，则常常能出奇制胜，找到简洁解法。这对发
展学生的数学思维能力和提高解题能力是大有裨益的！在此我想谈谈在解题教学
中从整体角度选择思维起点的几种常用方法，并举例说明其应用。
一、整体设元
整体设元的基本思想是用新的变元去代替已知式或已知式中的某一部分，从
而达到化繁为简、化难为易的目的。对于求代数式的值、解方程等问题，若直接
求解比较困难时，通常可以将思维起点落在整体设元这个角度上。
例 1 计算
分析：本题中数据较大,直接计算显然繁复,注意到题中出现的三个数是连续
整数,因而考虑整体设元。令1234567890＝ ，则
原式＝
即原式＝1234567890
例 2 已知密码 3·ABCPQR＝ 4·PQRABC ,
其中每个字母都表示一个十进制数字，试将这个密码译成数字形式。
分析：此题有6个未知数，若逐一求解，无法达到目的，注意到ABCPQR与
PQRABC之间的轮换关系,可将ABC和PQR视为两个整体,分别设ABC＝X ,PQR＝
y ,则有方程
且428与571互质, 所以 x＝571 , y＝428 ,
故所求的密码为 3·571428＝ 4·428571 。
二、整体代换
整体代换的基本思想是根据问题的条件和结论，选择一个或几个代数式，将
它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量之目的，一般在
计算、化简、求证的消元中，若进行单独消元很烦琐或不可能时，往往可以选择
整体代换。
例 3 已知
分析：由已知解出a、b、c的值再代入求解，计算将很复杂，因此选择如下
的整体代换，由已知可得
a－b＝－1 ,b－c＝－1 ,c－a＝2 ,则
原式=
例4 已知
分析：由 ，得 ， 。
利用此二式将原式的分子与分母分别进行分离变形，选择整体代换可求。
解：由 ，得 ，即 ．
原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
三、整体求和
整体求和的基本思想是将问题中某些局部运算作整体设和或求和，从而达
到简化问题和减少计算量的目的。
例5 已知４个边长相等的正多边形的纸片既不重叠又无空隙地平放在桌面
某一点周围，拼成１个大多边形，设４个正多边形的边数分别为p 、q 、r 、s ，试求 的值。
分析： 本题中要将 p、q、r、s 分别求出将十分困难，若从整体求和入手思考，则由题意可知，各取4个正多边形的一个内角相加，其和为一周角，于是有 ，
从而可得 = 1 .
例6 求代数式
（ ）
（全国中学数学邀请赛1999第二试题）
分析： 本题通过观察容易发现，所有括号内的算式都是同分母的分数之和，
因此，把同分母的相应项相加，整体求和，便可得到简捷解法．
解： 原式＝ ．
设原式 ＝ s ,
则2s = 1+2+3+4+…+49
又2s = 49+48+47+46+…+1
两式相加得：
4s = 50×49 = 2450
∴ s = 612.5
四、整体求积
整体求积的基本思想是把问题中的某些局部运算进行整体求积，从而达到简
化问题和减少运算量的目的。
例 7 已知 ，求证：x、y、z 中至少有一个是1 .
分析：从整体求积角度入手，x、y、z 中至少有一个是1，等价
，即 ， ①
另一方面，由已知条件可得 ，代入 ① ，于是只要证明
， ②
因为 ，故 ②两边同除以 ，可得
，移项后即为条件 ．
例8 求证：任何三个实数 都不可能同时满足下列三个不等式：
﹤ ， ﹤ ， ﹤ ．
分析：此题仍然可以采用整体求积的方法．假设有某三个实数 同时
满足上述三式．则三式两端平方，移项，分解因式，得
＜ ０
＜ ０
＜ ０
三式相乘，得 ＜ ０
由此可知这是不可能的．故任何三个实数都不可能同时满足题中的三个不式．
五、整体补式
整体补式的基本思想是把问题中的某些代数式通过补式使之呈现公式化结构形式，从而达到在等价变换中将问题转化为基本问题而简捷获解的目的．
例9 已知 ，不解方程，利用根
与系数的关系，求 的值．
分析：由于 不是 的对称式，利用根与系数关系，直接无法求它的值，因此我们从整体补式的角度考虑，将 补式成 的对称式，再求其值．记A= ,令B= ,
从而
，
，
于是，
例10 求 的整数部分．
分析： 要直接计算显然不容易，若构造一个与 相关的式子
，考虑计算 ＋ 的结果，问题即可得到方便的解决．
解 令 A = , B = ,
则有A B = = 2 ，
A + B = + = ，
A－B＝ － ＝ 2
＝56
∵ ，
∴ 的整数部分是 55 ．
六、整体补形
整体补形的基本思想是从图形的整体性角度出发，将问题中不完整的图形补
为完整的图形，从而利用图形的整体性质使问题巧妙获解．从整体补形角度去思
考问题，常能诱发辅助线的巧妙添设而导致解题方向的明朗化．
例11 如图甲，在 中，AC=BC , DEF的圆心为A ,若图中的两个阴
影部分的面积相等,求AD与DB之比．
分析：由于题中的图形是具有相同中心的 圆面和 正方形的面积的叠合，
于是我们进行如图乙所示的对称补形，易知正方形与圆的面积相等．此时若设
由 ,
.
例12 如图，一个凸六边形的六个内角 M
都是 ，其中连续四条边的长依次是1，
9，9，5，求该六边形的周长（1995年第 A ９ C
八届祖冲之杯数学邀请赛题） １ ９
D
解：将六边形补形成△MNR，易证△BCM、 ５
△DEN、△AFR、△MNR均为正三角形，
∴MN = BC+CD+DE = 23 , R F E N
MR = MN = BM + BA + AR = 10 + AR = 23,
得AR = AF = 13 ,同理得 EF = 5 ,
∴所求六边形的周长是 42 ．
参考文献:
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