再看点到直线距离的多种证法

再看点到直线距离的多种证法
西昌学院04级数理系 张如辉 （615022）

    点到直线距离是中学解析几何中频繁出现最多的重要内容之一，它的综合性很强，且与其它相关内容联系比较多。下面就以不同的角度去研究这个问题，供大家参考。
 已知在平面直角坐标系中任意一点与一直线（A，B不同时为零）。证明点P到直线L的距离。

方法1：如图1
 设直线L的法线方程为
 令：
则得到在新坐标系中
直线的方程

再由法线的几何意义得：     
               图1

方法2（构造法）           
  设直线L上任意一点Q,构造如下函数：
               
显然：f(t)≥0，                        
即不等式
对任意实数t，上述不等式恒成立。

从而：   
且等号成立当且仅当
即： 时成立。
故：               
方法3：如图2
    在直线L上任意取, ,容易验证N在直线上，连结PM，PN。过P点作PD⊥NM，则
在PMN中，SPMN ------------------①
又因为： SPMN   ---------② 
由① ② 得：  
又因为A，B不同时为零
所以 

方法4：<参数法> 如图3
 过作另一直线L1与已知直线L相交与Q,
则直线PQ的参数方程为：（t为参数） - - - - - -
将中的x,y代入L的方程，
即：
又此时，由于A，B不同时为零
则 

其中，且，因为，所以：
类似方法3处理得： 
方法5：<复数法>
 令：
其中：x,y满足方程,对任意复数
有：为的实数部分。
则：
又因为：，所以：

故：

此题还有多种其它方法，这里就留给读者去探索研究了。
  

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