浅谈《几何画板》在平面几何教学中的动态功能
初中阶段是学生由形象思维向抽象思维过度的重要时期，恰如其分地反映知识，利用多种媒体揭示知识的内在属性是我们每位教师义不容辞的责任。在教学手段日益更新的今天，许多教师在利用常规媒体于教学的同时，已把眼光转向计算机多媒体。因为它不仅能刺激学生各方面的感官、集中学生的注意力，更重要的是能生动地揭示事物的变化过程，实现人与知识的“对话”。因此，许多教师在纷纷寻找一种既适合自己所任教的学科、又较容易操作的软件平台。
我在几何教学时运用了《几何画板》，发现《几何画板》具有优越的动态功能，对学习和研究平面几何很有帮助，运用他能开阔学生的视野，提高学生动态分析的思维品质，培养他们勇于探索研究的创新意识。我在实践中感到，《几何画板》在平面几何教学中有以下一些重要的动态功能。
一、 拖动功能
人们认识事物是从特殊到一般，又从一般到特殊的。以前的几何教学中，由于受作图工具条件的限制，所作图形是 静止的，因而容易将一些重要的几何原理掩盖住。利用《几何画板》的拖动功能，可以在绘图板上拖动已画好的图形，使之变化，在连续变化中发现特殊和一般的关系；或把一般图形变成特殊图形，从中发现特点，进而归纳出一般图形的规律。
《几何画板》这种特有的功能，为学生学习平面几何提供了新的方法。利用《几何画板》，可以进行知识系统的归纳和总结，课本例题习题的演示和改造等，还可进行一题多变，深化学生逻辑推理能力的非常有利的工具。例如：在教学圆幂定理是，可利用画板制作动态图形，展示两线（相交弦或切割线）的交点从圆内移动到圆外的变化过程（图1—1，图1—2），阐明几个重要的几何定理之间的内在关系。
2. 动态准确地揭示几何规律
心理学认为变动的事物、图形易引起人们的注意，从而在人脑里形成较深刻的映象。使用常规工具（如纸、笔、圆规和直尺等）画图，具有一定的局限性，并且画的图很容易掩盖极重要的几何原理。使用《几何画板》画图，可以根据记录的画法抽象出一个几何系统。当播放这个图形记录时，你可以研究它各部分的关系和特殊情况，动态地观察推测其正确或不正确。如等腰三角形的三线合一这节课，发现结论是本节课的难点，如何突破这一难点呢？利用几何画板制作一个由任意三角形变为等腰三角形的动画，让学生观察三线的变化过程，找出规律，发现定理，同时，可借助于《几何画板》强大的测算功能观察三角形其余两边、两角的变化，从而使等腰三角形三线合一的性质昭然若揭。
一、更新教育观念，迎接教育革命
多媒体计算机的出现、网络技术的运用，信息时代的到来正在给教育带来深刻的变化。教育技术的更新更新了认知工具，改善了认知环境，教学的传统观念就受到了冲击，教学手段、教学方法、教学模式，最终导致教学内容、教育思想、教学理论，甚至教学体制的变革，引起教育革命。随着计算机走进学校、家庭，教育也向经济一样，走向“全球一体化”，教室在“缩小”，但学校在“扩大”。正如比尔•盖茨所说“你的工作场所和你关于教育的观念将被改变，也许被改变得面目全非。”（见［1］）。以多媒体计算机为核心的辅助教学的研究正在日益兴起，虽然现在人们对这个问题的认识还有待统一，但是，我以为既不要夸大计算机的作用，以为计算机能完全代替传统的一张嘴、一支笔、一块黑板的数学教学，更不要采取抵制态度、忽视计算机在教学中的作用。我们应该采取积极的态度来迎接这场革命，因此应该努力学习教育理论，掌握现代教育技术，尤其是年轻教师更应该这样做。
二、使“计算机辅助中学数学教学” 的实践成为理论指导下的实践
没有实践的理论是空洞的理论，没有先进的教育理论指导的“电脑辅助中学数学教学”的实践是盲目的实践．“建构主义”是继“行为主义”、“认知主义”学习理论之后的一种全新的学习理论。我以为我们应该以“建构主义”的理论作为这个实践的理论性指导。
建构主义理论的核心，即认为“知识不是被动接受的，而是认知主体积极建构的”．建构主义以这种新的观点，对数学知识的性质、学习的性质、学生的性质等方面展开基本看法．
建构主义认为，数学不是建立在独立于人类思想之外的纯客观的事实上的．数学的对象是思维对象，是人类的创造与发明，而不是发现．但它又不是任意创造出来的，它是从已有的数学对象出发，根据科学、生活、生产实践的需要，经人类自身的数学活动而形成．
建构主义认为，虽然学生要学习的数学都是前人已经建造好了的，但对学生来说，仍是全新的、未知的．需要每个人再现类似的创造的过程来形成．即学生用自己的活动对人类已有的数学知识建构起自己的正确理解，而不是去仔细地吸收课本上的或教师叙述的现成结论．应该是一个学生亲身参与的充满丰富、生动的概念或思想活动的组织过程．
教育改革的首要条件是改变观念．建构主义理论为数学教师更新观念带来了清新空气，提供了看待教学和学生的全新角度．
建构主义理论目前还只是一种导向性理论框架，理论层次上的观点并没有简单地引伸出具体的教学模式（见［2］）．
建构主义把“情景”、“协作”、“对话”“意义建构”作为学习环境中的“四大要素”或“四大属性”。
有关这方面的理论，北京师范大学现代教育研究所的何克抗教授有多篇文章论述：
1. 建构主义棗革新传统教学的理论基础；
2. 多媒体教育应用的重大意义及发展趋势；
3. 论计算机教育发展的新阶段（以上可见于网址：WWW.NRCCE.COM）。
三、中学数学教学需要电脑辅助
中学数学教学需要电脑辅助，电脑的运用给中学数学教学增添了新的活力。
（1）创设“情景”，改善认知环境，增强教学效果。
图1
图2
有一位教师在教学《三角形的中位线》时，用《几何画板》（一种数学辅助教学软件）做了如下的事情（如图1）：
作△ABC，取AB的中点D，取AC的中点E，连联结D、E；接着测算出DE、BC、∠ADE、∠AED、∠ABC、∠ACB等，然后让学生观察它们的关系，问：您发现了什么？
学生的任何发现，利用《几何画板》，只要拖动点A（或B，或C），就可立即加以验证其正确如何。这为培养初二学生的观察力，想象力，归纳等诸能力创设了极好的“情景”，增强了教学的民主性、学生的参与性，这是以往的任何教具所不能实现的。
再比如“三角函数的图象”的教学，在 中，传统的教学是就ω的几个有限的取值描图后就加以归纳，如ω取1，2， 。如图2，您只要用鼠标拖动点A，ω，转动φ，改变它们中的任意一个值，就可以观察图象所发生的变化。
这些手段的运用极大地调动了学生学习的积极性。所提供的外部刺激也不是单一的，而是多种感官的综合刺激，这对于知识的获取和保持，都是非常有利的。
（2）容易混淆的概念用电脑来认识、辨析，就变得更加清晰，印象就特别深刻，教学效果就比较明显。比如椭圆的离心角、椭圆的中心与椭圆上一点的连线为终边（x轴正向为始边）的角，它们的区别与联系，利用电脑来认识就十分清楚，这是以往所无法企及的．如图3，当您拖动主动点A时，∠XOM与θ的大小就立即显现在屏幕上。
（3）静态变动态、抽象更为形象、微观成为宏观、“数”转化为“形”。数学是抽象的，电脑可把抽象的概念形象化．数列的极限是十分抽象的，通过电脑，同学们可以看到随n的不断增大， 是如何接近常数A的．而且可以动态地随意展示任何一个区间上的情形（用《MAPLE》（见注）软件），同学们不再怀疑在区间（A-ε，A+ε）上有着数列的无限项．
通过电脑的演示，使静态变为动态，可以真正看到点的“轨迹”，可以看到曲线形成的过程。以往，在“椭圆的参数方程”一课的教学中，同学们是通过把参数方程化成标准形式来认识它所表示的曲线的形状的。在图3中，您只要拖动主动点A，点M的“轨迹”就显示出来。虽然能通过解析的方法化成标准方程来认识曲线的形状，但是未必真正“信服”，印象未必深刻。有了电脑的演示，同学们感觉到：噢，真的是椭圆。
图3
图4
比如函数图象的平移变换，用电脑演示就显得十分形象。如图4，当您拖动点T（或B）时，t（或b ）的值随之变化，图象随之移动。不用老师的语言，学生经过观察就会得出结论。
电脑可以作出任意一个函数的图象、方程的曲线。由于电脑的交互性，可以随意改变参数（系数）的取值，得到各种情形下的图象，便于加以比较、归纳。
（4）有利于激发学生的学习兴趣。电脑极强的交互性，使学生有了参与的机会，学生的想象力得到了充分的发挥，也极大地调动了学生的积极性、学习的兴趣。我在高二《解析几何》的教学中，使用了《几何画板》，同学们不仅对教学内容提高了兴趣，对软件和课件也兴趣浓厚，要求拷贝软件和课件，带回去再观察、再认识、再体会。
（5）电脑给数学提供了“实验”、探索的工具。
图5
图6
笔者与学生讨论过一个简单而有趣的问题：△ABC的顶点A在定圆上M运动，B、C固定，求△ABC的外心O的轨迹。大家进行了各种猜测，有猜圆的，也有猜椭圆的，等等。用《几何画板》一做（图5），发现是线段。再仔细想一想，应在“意料之中”（BC的中垂线上）。 “意料之中”吗？当您拖动点C，使C在圆内时，情况发生了变化，是直线（图6）。同学们谨慎起来，不再说话。有一个胆大的学生说，三种情况都有：当B、C在圆外时，轨迹是线段；当B、C中有一个在圆外、一个在圆内时，轨迹是直线；当B、C都在圆内时，轨迹是射线。这就对了吗？仍然把点B、C都放在圆外，但线段BC与圆相交，这时轨迹成为两条射线，……。这位同学自感有点“冒失”，其他人不敢再说话，沉默了。同学们的思维得到训练，能力得到培养，素质的提高。
四、电脑“辅助中学数学教学”不仅是“艺术”，更是科学
电脑作为一种教学工具是“中性”的，可以用她来培养能力、提高素质，也可以用它搞“题海”、“满堂灌”，增加学生的负担。笔者听过一堂数学课，该课件是用《3DS》制作，《AUTHORWARE》连接的。整堂课，教师没写一个字，全部由电脑和幻灯展示，教师只动动鼠标、播放幻灯片。练习时，学生错了，电脑发出一种怪声音；对了，声音悦耳。教师原本的讲解变成为电脑的播放，课堂上似乎也挺热闹。电脑辅助中学数学教学，“辅助”的地位不能变。无论电脑有多么强的交互性，“人机对话”决不能代替“人际对话”。教学过程是十分复杂的、细腻的过程，忽视教师与学生之间的情感交流在教学中所起的作用必将把“电脑辅助中学数学教学”引向反面。我在“椭圆的参数方程”一课的教学中，软件是当堂制作的，软件制作的过程也是学生进行概念构建的过程；并始终注意教师与学生间的情感交流，如教师的精心设问、师生间的对话、学生间的议论；教师的板书，解题的演算过程，规范表达等。始终坚持学生是学习的主体，但又不忽视教师的主导作用。教学中，能用黑板讲清楚的问题，不要去搬弄计算机。一开始就必须把这个方向搞对头。
五、坚持数学教师自己制作软件
《几何画板》软件为我们数学教师提供了这种可能。它的特点是不需要编程，学习容易；超作简单；制作软件花时少；制作出的课件字节少；便于携带；交互性强。功能十分强大。只要你会《WINDOWS》的基本操作，并认真阅读它的说明书或参加短期的培训就能很快掌握它。正确的教育理论指导、懂得教学规律、熟悉教学过程是制作好辅助中学数学教学软件的前提条件。计算机专业人员固然熟悉计算机语言，但未必熟悉教学规律、理解教学的需要，制作出的软件就很难适应教学。数学教师坚持自己制作软件，这就要选择好“制作平台”，以免走弯路。根据笔者的实践，以为，《几何画板》是中学数学教师的首选软件，除本身的功能强大外，还支持插入“OLE”对象，如插入“WORD文本”、“BMP位图”、“3DS动画”、“POWERPOINT幻灯片”、电影片段（.AVI），支持程序调用（执行.EXE文件），等等，功能足够你用的。数学教师可以象使用圆规、三角板一样来使用它，但是，圆规、三角板的功能、作用、效果无法与它同日而语。其外，《MATHCAD》、《MAPLE》也可选，再说《数学实验室》已经问世,也是一个好平台。
六、学生应该（了解）掌握《几何画板》
《几何画板》作为一种先进的学习工具，掌握它是掌握一项先进的学习技能。它不仅能帮助学生理解数学概念、解决数学问题，而且本身就是一个智力开发的工具，有利于学生能力的培养、素质的提高。通过学生制作立体几何软件，可以极大地促进空间想象能力的培养；同一个数学问题，可以有不同的建模方法，制作方法。我校在高一开设了《几何画板》选修课，有25人选修。他（她）们学得很快，我虽然也比较熟悉《几何画板》，但是，相反我也向他（她）们学到不少东西。有一些学生已经用《几何画板》帮他的老师制作软件；个别同学运用《几何画板》有了令老师吃惊的发现（限于篇幅，不再举例）。受周围同学的影响，没进入这个班的一些同学也在摆弄《几何画板》。我教高二的数学，高二（2）班的50名学生中近30人家里有个人电脑，大多是486以上多媒体机型，他（她）们主动要求把我上课的软件拷贝回家，甚至不是我所教班级的学生也“偷偷”这样做．用电脑辅助教育软件挤占他们的“游戏时间”成了他们的自觉行动。
七、师范院校数学系应该开设《几何画板》选修课（必修课）
师范院校数学系应该把《几何画板》等数学教学软件运用的学习、掌握作为必修课，至少目前应该开设这方面的选修课，现在的师范院校的学生是21世纪的人才。个人电脑、网络技术的发展日新月异，电脑正在日益普及，目前的教室中也许还没有计算机，但是将来棗21世纪的教室中，计算机一定会屡见不鲜。因此，我以为师范院校数学系的毕业生应该掌握《几何画板》等计算机辅助数学教学软件的使用，这样才能适应21世纪的需要。
注：《MAPLE》、《3DS》、《AUTHORWARE》、《WINDOWS》、《MATHCAD》、《数学实验室》都是计算机软件。
参考文献：
［1］《学习的革命》 上海三联书店 １９９７年８月 第一版
［2］《中学教学全书》（数学卷） 上海教育出版社 1996
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