高中数学教学论文

点差法”在中点弦问题中的应用

专题“点差法”在中点弦问题中的应用

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为 、 ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

点差法：适应的常见问题：弦的斜率与弦的中点问题；

①注意：点差法的不等价性；（考虑⊿>0）

②“点差法”常见题型有：（1）求中点弦方程、（2）求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、（3）垂直平分线问题。

 “点差法”是由弦的两端点坐标代入圆锥曲线的方程，得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子，（也称中点和斜率结合公式）再结合有关条件来求解．当题目涉及弦的中点、斜率时，一般都可以用点差法来解．这种方法可以减少运算量，优化解题过程，达到“设而不求”的目的．下面从六方面举例说明．

一  求直线方程

例1  已知椭圆 ，求以 为中点的弦所在直线的方程．

解  设弦的两端点为 ， ，则 ，

两式相减得 ，

故 ，得所求方程为 ．

一般地，若P( ， )为二次曲线 的弦 的中点，  与y 轴不平行，不重合， 则直线 的方程为

．

变式 1 给定双曲线x2﹣=1，过点B(1，1)能否作直线m，使m与所给的双曲线相交于Q₁、Q₂两点，且B是线段Q₁Q₂的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，说明理由．

解  设Q₁ (x₁，y₁)、Q₂(x₂，y₂)，则 ，

两式相减，得 ，

∴ ．

由于x₁≠x₂，∴ ，这时直线的方程为y﹣1=2(x﹣1)，即y=2x﹣1．

将y=2x﹣1，代入双曲线方程得一元二次方程2x²﹣4x+3=0，此方程无实根，故满足题设的直线不存在．

例2、已知双曲线 ，经过点 能否作一条直线 ，使 与双曲线交于 、 ，且点 是线段 的中点。若存在这样的直线 ，求出它的方程，若不存在，说明理由。

策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线　，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。

解：设存在被点 平分的弦 ，且 、

则 ，

，

两式相减，得

故直线

由 　消去 ，得

这说明直线 与双曲线不相交，故被点 平分的弦不存在，即不存在这样的直线 。

评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的 位置非常重要。（1）若中点 在圆锥曲线内，则被点 平分的弦一般存在；（2）

若中点 在圆锥曲线外，则被点 平分的弦可能不存在。

二  求曲线方程

例3  已知椭圆中心在坐标原点O，一条准线方程是x=1，这椭圆的一条弦AB过左焦点F，且倾斜角为 ，设AB中点为M，若AB与OM的夹角为arctan2，求椭圆方程．

解  设椭圆方程为 ( )，

则有 ，又 ，∴             ①

令 ， ，则 ， ，

两式相减，得  

由 =tan =1，∴ ．∴ ，

由夹角公式，得  =2， ∴                      ②

联立①、②可得 ,  ，由此得椭圆方程 ．

例4、已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的中点的横坐标为 ，求椭圆的方程。

解：设椭圆的方程为 ，则 ┅┅①

设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则

，   ，

又 ，

两式相减得

即

            ┅┅②

联立①②解得 ，

所求椭圆的方程是

三  求点的轨迹方程

例5  已知定长为a（a 1）的线段AB的两端点在抛物线 上移动，求动弦AB的中点N的轨迹方程．

解  设两端点坐标为 ， ，中点坐标为N（ ），则 ，因两端点在抛物线上，所以 ，

两式相减，得 =( )( )

， = = =k

则线段AB的方程为 ，而 ，所以整理得

．

由根与系数的关系， ，

根据题意， =

=

= ，所求动弦AB的中点轨迹方程为 ．

例6、已知椭圆 ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。

解：设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则

，       

又  ，

两式相减得

即 ，即

    ，即

由 ，得

点 在椭圆内

它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为

四  求参数的取值范围

例7  直线 过定点 ，若抛物线 上存在两点关于直线 对称，求直线 的斜率 的取值范围．

分析  抛物线上两点关于直线 对称， 过这两点连线段的中点，且与这两点连线垂直，涉及斜率与中点问题，故可考虑点差．

解  设 在抛物线 上关于 对称， 中点 ，

由 ，

得 ， （ ），

又 ，  解是 ．

中点 在抛物线内部， ， 为所求．

五  证明定值定点

例8  已知直线 与椭圆C： 交于P₁、P₂两点，线段P₁P₂的中点是P，设直线 的斜率为k(k≠0)，OP的斜率为k¢，求证：kk¢是一个定值．

证明  设 ， ，中点P(x₀，y₀)，

则 ，

两式相减，得 ， ，

，又 ，

∴kk¢=﹣，即kk¢是一个定值．

例9： 已知椭圆 上三点 ， ， 和焦点 的距离依次成等差数列，（1）求 ；（2）求证：线段 的垂直平分线过定点，并求出定点坐标．

分析  这道题目表面上好象与“点差法”没多大联系，其实不然，（2）中既然出现了线段的垂直平分线，当然也就有了弦的中点，“点差法”也就有了用武之地了．

解  （1）只需用椭圆的定义（到焦点的距离与到相应准线的距离之比为定值离心率）即可求出： ．

（2） 可设 中点为 ，其中 ，

由 在椭圆 上，

，

两式相减，得 ，

，

的垂直平分线的方程为 ，即 ，

的垂直平分线过定点 ．

六：圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

例10、已知椭圆 ，试确定的 取值范围，使得对于直线 ，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

解：设 ， 为椭圆上关于直线 的对称两点， 为弦 的中点，则 ，

两式相减得，

即

， ，

　　这就是弦 中点 轨迹方程。

它与直线 的交点必须在椭圆内

联立 ，得 　则必须满足 ，

即 ，解得

注意的问题

（1）双曲线的中点弦存在性问题；

（2）弦中点的轨迹应在曲线内。

利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。

汉江中学高二年级数学组