单摆周期求解

单摆周期求解

　　

课本中，对单摆作简谐运协的周期公式是未加推导而直接给出的．虽对"单摆作简谐运动的回复力是由重力沿运动切线方向上的分力所提供的"作了说明，但并未推导单摆作简谐运动的条件及回复力的最终表达式，这对准确掌握周期公式以及在其他条件下单摆周期的求解造成了困难．
若单纯以"类比法"将公式 中的g通过类比视为不同条件下摆球在平衡位置相对于悬点静止不动时摆线中的张力与摆球的质量之比，进而求得不同条件下单摆简谐运动的周期．势必我们会感到依据不足，并且往往造成错误．因此，现就学习中经常遇到的有关单摆周期的求解及用“类比法”将公式 的推广应用分析如下：

在惯性系中只在重力和拉力作用下的单摆简谐运动周期公式T=2π 是如下进行推导的。首先，已知弹簧振子简谐运动的周期T=2π ，然后根据单摆振动时的回复力F=mgsinθ，再由单摆简谐运动的条件：θ＜5°进行近似处理得到．显然，在此推导方法中，求解回复力表达式是十分重要的一环．只要抓住此重要环节，就可将单摆简谐运动周期公式推导至非惯性系和各种不同情况．

问题1．将一摆长为l的单摆放置在升降机中，当升降机以加速度α向上加速运动时，求单摆简谐运动的周期．
首先对单摆振动的回复力作如下分析：
如图1所示，在振动方向上，由牛顿第二定律有：
mgsinθ=m（a_圆-αsinθ），故回复力
F_圆=mα_圆=mgsinθ+mαsinθ=m（g+α）sinθ．
相反，所以断定此单摆作简谐运动，再与F_圆=kx比较，可知相当于
将此代入简谐运动周期 T=2π 即得此时单摆简谐运动的周期为：

如果升降机的加速度α向下．则同理可得其中单摆的周期公式为

问题2．将一摆长为L的单摆置于沿水平方向作加速运动的车厢内，其加速度为α，求此单摆的周期．
此问题单摆摆动的回复力分析如下
mgcosα＝ma_圆+asinα，
由图2中几何关系知：
α+β+θ＝90°
由摆球在平衡位置O点相对于悬点静止时的受力分析知：

故

问题3．小车由倾角为α的光滑斜面滑下，求挂在车厢顶上的摆长为l的单摆简谐运动的周期．
　　　　　　　　　　
单摆摆动的回复力的求解如下．
因斜面光滑，故可知小车沿斜面向下滑动的加速度为
a=gsinα．
∴在摆球振动方向上有：
mgcosβ=ma_圆+macosγ．
由图3中几何关系知：
γ=θ，α+β+γ=90°．
故　F_圆=ma_圆=mg（cosβ-sinαcosθ）
　　 =mg[sin（α+θ）-sinαcosθ]
　　=mgcosαsinθ．

问题4．将一个摆长为L的单摆放在一个光滑的、倾角为α的斜面上，如图4．求此单摆简谐运动的周期．

首先分析此单摆振动的回复力：mg在OO′方向上的分力为mgsinα．单摆振动的回复力由mgsinα在切向上的分力提供．

问题5．将一摆球带正电q，摆长为L的单摆移入图5所示匀强电场中，求其简谐运动的周期．

此单摆摆动过程中回复力为：
F_圆=（qE+mg）sinθ．

故此单摆简谐运动周期为：

显然，前述5个问题中求解单摆周期的方法是根本的，但比较费时，所谓"类比法"的确要简捷得多．但一定要强调以"回复力"为类比，否则，盲目使用"类比"结论势必造成错误．例如：

问题6．若某一摆长为L的单摆悬点处有+q的点电荷，摆球带电+q，求其简谐运动周期．

　

问题7．若将一摆长为L，摆球带电+q的单摆置于图6所示匀强磁场中，求其简谐运动周期．
在这两个问题中，由于库仑力和洛仑兹力始终对单摆振动回复力无贡献，故单摆简谐运动周期不变，仍为T=2π