2007学年度高考模拟考试数学(理科)试题
本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页满分150分.考试用时120分钟
注意事项:
1、答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上,用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡上.
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在和答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设全集U =R，A = ，则 =（ ）．
A． B.｛x | x > 0｝ C.｛x | x≥0｝ D. ≥0
2．“a＝1”是 “函数 的最小正周期为 ”的 ( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 复数 的共轭复数是( )
A． B． C． D．
4．甲、乙、丙、丁四位同学各自对 、 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数 与残差平方和 如下表：
|
|
甲 |
乙 |
丙 |
丁 |
|
|
0.82 |
0.78 |
0.69 |
0.85 |
|
|
106 |
115 |
124 |
103 |
则哪位同学的试验结果体现 、 两变量更强的线性相关性？（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．在等差数列｛an｝中， ，则此数列前30项和等于（ ）
A．810 B．840 C．870 D．900
6．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（ ）
A．2，2 B． 2 ，2 C．4，2 D．2，4
7．在如下程序框图中，输入 ，则输出的是 ( )
A．cosx B．sinx C．－cosx D．－sinx
8．一水池有2个进水口，1 个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）
给出以下3个论断：
①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③ 4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的论断是 （ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）．
9．已知 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中 的系数是
_________.
10．若 ，则目标函数 的取值范围是
11． 等于 .
12．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图中有_______个小正方形，第n个图中有 _个小正方形.
▲以下三题为选做题，请从中选做两题（如三题全做则只算前两题的分数）
13．如图，⊙O和⊙ 都经过A、B两点，AC是⊙
的切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线，交⊙
于点D，若BC= 2，BD=6，则AB的长为
14．参数方程 ( 是参数)表示的曲线的普通方程是_________________.
15．设 ，则 的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在⊿ 中，内角 的对边分别是 ，已知
．
（Ⅰ）试判断⊿ 的形状；
（Ⅱ）若 求角B的大小．
17.（本小题满分12分）
已知数列 的前n项和 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式;
（Ⅱ）设 ,求数列 的前n项和.
18．（本小题满分14分）
如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，
BD= .
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大小；
（Ⅲ）求点C到平面PBD的距离.
19. (本题满分14分)
如图所示, 有两个独立的转盘 、 .两个图中三个扇形区域的圆心角分别为 、 、 .用这两个转盘进行玩游戏，规则是：依次随机转动两个转盘再随机停下（指针固定不会动,当指针恰好落在分界线时,则这次结果无效,重新开始），记转盘 指针对的数为 ，转盘 指针对的数为 .设 的值为 ,每转动一次则得到奖励分 分.
（Ⅰ）求 <2且 >1的概率；
(Ⅱ) 某人玩12次，求他平均可以得到多少奖励分？
20．(本题满分14分)
已知椭圆方程为 ，射线 与椭圆的交点为 过 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于 两点（异于 ）．
（I）求证: 直线 的斜率 ;
（II）求△ 面积的最大值．
21．（本题满分 分）
已知函数 和点 ，过点 作曲线 的两条切
线 、 ，切点分别为 、 ．
（Ⅰ）设 ，试求函数 的表达式；
（Ⅱ）是否存在 ，使得 、 与 三点共线．若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数 ，在区间 内总存
在 个实数 ， ，使得不等式
成立，求 的最大值．
2006—2007学年度高考全真模拟考试数学(理科)试题
参考答案
一、选择题：CABDBDBA
二、填空题：（12题前后两空分别为2分、3分）
9. 35 10． ． 11. 12. 28 ,
13. 14. ( ); 15.
16．解：（Ⅰ）由余弦定理得：
故：
所以⊿ 是以角C为直角的直角三角形。
另解：由正弦定理得
即 从而有
（Ⅱ）
故 同理
在 ⊿ 中，
17．(Ⅰ)当 时,
故 ,即数列的通项公式为
(Ⅱ)当 时,
当
由此可知,数列 的前n项和 为
18．方法一：
证：（Ⅰ）在Rt△BAD中，AD=2，BD= ，
∴AB=2，ABCD为正方形，
因此BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，
∴BD⊥PA .
又∵PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC.
解：（Ⅱ）由PA⊥面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CD⊥AD，
∴CD⊥PD，知∠PDA为二面角P—CD—B的平面角.
又∵PA=AD，
∴∠PDA=450 .
（Ⅲ）∵PA=AB=AD=2
∴PB=PD=BD=
设C到面PBD的距离为d，由 ，
有 ，
即 ，
得
方法二：
证：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.
在Rt△BAD中，AD=2，BD= ，
∴AB=2.
∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴
∵
即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC.
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得 .
设平面PCD的法向量为 ，则 ，
即 ，∴
故平面PCD的法向量可取为
∵PA⊥平面ABCD，∴ 为平面ABCD的法向量.
设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得 ，
∴q = 450 .
（Ⅲ）由（Ⅰ）得
设平面PBD的法向量为 ，则 ，
即 ，∴x=y=z
故平面PBD的法向量可取为 .
∵ ，
∴C到面PBD的距离为
19．解：（Ⅰ）由几何概率模型可知：
P（ =1）= 、P（ =2）= 、P（ =3）= ；
P（ =1）= 、P（ =2）= 、P（ =3）=
则P（ <2）= P（ =1）= ，P（ >1）= P（ =2）+ P（ =3）= + =
所以P（ <2且 >1）= P（ <2） P（ >1）=
（Ⅱ）由条件可知 的取值为：2、3、4、5、6. 则 的分布列为：
他平均一次得到的钱即为 的期望值：
所以给他玩12次，平均可以得到 分.
20．（1）∵ 斜率 存在，不妨设 ＞0，求出 （ ， ）
直线 方程为 ，直线 方程
2分
分别与椭圆方程联立，可解出 ，
∴ ．
∴ ．
（2）设直线AB方程为 ，与 联立，消去y得
．
由 >0得-4＜ ＜4，且 ≠0，
点M到 的距离为
设△ 的面积为S．
∴ ．
当 时，得 ．
21． 解：（Ⅰ）设 、 两点的横坐标分别为 、 ，
， 切线 的方程为： ，
又 切线 过点 ， 有 ，
即 ，
同理，由切线 也过点 ，得 ．
由（1）、（2），可得 是方程 的两根，
………………（ * ）
，
把（ * ）式代入,得 ,
因此，函数 的表达式为 ．
（Ⅱ）当点 、 与 共线时， ，
＝ ，
即 ＝ ，化简，得 ，
， ． ………………（3）
把（*）式代入（3），解得 ．
存在 ，使得点 、 与 三点共线，且 ．
（Ⅲ）解法 ：易知 在区间 上为增函数，
，
则 ．
依题意，不等式 对一切的正整数 恒成立，
，
即 对一切的正整数 恒成立，．
， ，
．
由于 为正整数， ．
又当 时，存在 ， ，对所有的 满足条件．
因此， 的最大值为 ．
解法 ：依题意，当区间 的长度最小时，得到的 最大值，即是所求值．
， 长度最小的区间为 ，
当 时，与解法 相同分析，得 ，
解得 ．
后面解题步骤与解法 相同（略）．
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